Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x + 1}{x^{2} + 3}$ , $- 1 \leq x \leq 2$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x + 1$ и $g (x) = x^{2} + 3$ .

$\frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2.4.2

Умножим $x^{2} + 3$ на $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2.5

По правилу суммы производная $x^{2} + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2.7

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.8.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2.8.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 (x + 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} + 3 + (- 2 x - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x \cdot x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2} - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.3.1.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.3.2

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 3 - 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.4

Изменим порядок членов.

$\frac{- x^{2} - 2 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.5

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.5.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ , а сумма — $b = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.5.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 x$ .

$\frac{- x^{2} - 2 (x) + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.5.1.2

Запишем $- 2$ как $1$ плюс $- 3$

$\frac{- x^{2} + (1 - 3) x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x^{2} + 1 x - 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.5.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{- x^{2} + x - 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.5.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.5.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(- x^{2} + x) - 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{x (- x + 1) + 3 (- x + 1)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.5.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x + 1$ .

$\frac{(- x + 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{(- (x) + 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.7

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (- 1)) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.9

Перепишем $- (x - 1)$ в виде $- 1 (x - 1)$ .

$\frac{- 1 (x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$- \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$

Этап 1.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$(x - 1) (x + 3) = 0$

Этап 1.2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 1.2.3.2

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 1.2.3.2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 1.2.3.3

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 1.2.3.3.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 1.2.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 1) (x + 3) = 0$ верно.

$x = 1, - 3$

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 1.4

Вычислим $\frac{x + 1}{x^{2} + 3}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем значение в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$\frac{(1) + 1}{{(1)}^{2} + 3}$

Этап 1.4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2}{1^{2} + 3}$

Этап 1.4.1.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{2}{1 + 3}$

Этап 1.4.1.2.2.2

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{2}{4}$

Этап 1.4.1.2.3

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (1)}{4}$

Этап 1.4.1.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Этап 1.4.1.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Этап 1.4.1.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2}$

Этап 1.4.2

Найдем значение в $x = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Подставим $- 3$ вместо $x$ .

$\frac{(- 3) + 1}{{(- 3)}^{2} + 3}$

Этап 1.4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Добавим $- 3$ и $1$ .

$\frac{- 2}{{(- 3)}^{2} + 3}$

Этап 1.4.2.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.2.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$\frac{- 2}{9 + 3}$

Этап 1.4.2.2.2.2

Добавим $9$ и $3$ .

$\frac{- 2}{12}$

Этап 1.4.2.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.3.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{12}$

Этап 1.4.2.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 6}$

Этап 1.4.2.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 6}$

Этап 1.4.2.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{6}$

Этап 1.4.2.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{6}$

Этап 1.4.3

Перечислим все точки.

$(1, \frac{1}{2}), (- 3, - \frac{1}{6})$

Этап 2

Исключим точки, которые не принадлежат данному интервалу.

$(1, \frac{1}{2})$

Этап 3

Вычислим на включенных конечных точках.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение в $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Подставим $- 1$ вместо $x$ .

$\frac{(- 1) + 1}{{(- 1)}^{2} + 3}$

Этап 3.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{2} + 3}$

Этап 3.1.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{0}{1 + 3}$

Этап 3.1.2.2.2

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{0}{4}$

Этап 3.1.2.3

Разделим $0$ на $4$ .

$0$

Этап 3.2

Найдем значение в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

$\frac{(2) + 1}{{(2)}^{2} + 3}$

Этап 3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{3}{2^{2} + 3}$

Этап 3.2.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{3}{4 + 3}$

Этап 3.2.2.2.2

Добавим $4$ и $3$ .

$\frac{3}{7}$

Этап 3.3

Перечислим все точки.

$(- 1, 0), (2, \frac{3}{7})$

Этап 4

Сравним значения $f (x)$ , найденные для каждого значения $x$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $f (x)$ , а минимум — при наименьшем значении $f (x)$ .

Абсолютный максимум: $(1, \frac{1}{2})$

Абсолютный минимум: $(- 1, 0)$

Этап 5