Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{2 x + 5}{3}$ , $[0, 5]$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 x + 5}{3}$ по $x$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Этап 1.1.1.2

По правилу суммы производная $2 x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 1.1.1.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 1.1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 1.1.1.5

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{3} (2 + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 1.1.1.6

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{3} (2 + 0)$

Этап 1.1.1.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.7.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 2$

Этап 1.1.1.7.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $2$ .

$f' (x) = \frac{2}{3}$

Этап 1.1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{2}{3} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{2}{3} = 0$

Этап 1.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$2 = 0$

Этап 1.2.3

Поскольку $2 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 1.3

В области определения исходной задачи нет значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

Критические точки не найдены

Этап 2

Вычислим на включенных конечных точках.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$\frac{2 (0) + 5}{3}$

Этап 2.1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{0 + 5}{3}$

Этап 2.1.2.2

Добавим $0$ и $5$ .

$\frac{5}{3}$

Этап 2.2

Найдем значение в $x = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Подставим $5$ вместо $x$ .

$\frac{2 (5) + 5}{3}$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{10 + 5}{3}$

Этап 2.2.2.1.2

Добавим $10$ и $5$ .

$\frac{15}{3}$

Этап 2.2.2.2

Разделим $15$ на $3$ .

$5$

Этап 2.3

Перечислим все точки.

$(0, \frac{5}{3}), (5, 5)$

Этап 3

Сравним значения $f (x)$ , найденные для каждого значения $x$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $f (x)$ , а минимум — при наименьшем значении $f (x)$ .

Абсолютный максимум: $(5, 5)$

Абсолютный минимум: $(0, \frac{5}{3})$

Этап 4