Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 \sqrt[3]{x - 1} + 3$ ; $[- 7, 9]$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $2 \sqrt[3]{x - 1} + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 \sqrt[3]{x - 1}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 \sqrt[3]{x - 1}) + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 1.1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \sqrt[3]{x - 1}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x - 1}$ в виде ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 1.1.1.2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 1.1.1.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ и $g (x) = x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 1)) + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 1.1.1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1)) + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 1.1.1.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1)) + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 1.1.1.2.4

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)))) + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 1.1.1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} (- 1)))) + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 1.1.1.2.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 1.1.1.2.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 1.1.1.2.8

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 1.1.1.2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 1.1.1.2.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.10.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 1.1.1.2.10.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 1.1.1.2.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 1.1.1.2.12

Добавим $1$ и $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 1.1.1.2.13

Объединим $\frac{1}{3}$ и ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 1.1.1.2.14

Умножим $\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ на $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 1.1.1.2.15

Перенесем ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 1.1.1.2.16

Объединим $2$ и $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 1.1.1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} + 0$

Этап 1.1.1.3.2

Добавим $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Этап 1.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$2 = 0$

Этап 1.2.3

Поскольку $2 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}}$

Этап 1.3.2

Зададим знаменатель в $\frac{2}{3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}} = 0$

Этап 1.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${(3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 1.3.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}$ в виде ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 1.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.2.1

Упростим ${(3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.2.1.1

Применим правило умножения к $3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 1.3.3.2.2.1.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 1.3.3.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 1.3.3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$27 {(x - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 1.3.3.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$27 {(x - 1)}^{2} = 0^{3}$

Этап 1.3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$27 {(x - 1)}^{2} = 0$

Этап 1.3.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.1

Разделим каждый член $27 {(x - 1)}^{2} = 0$ на $27$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.1.1

Разделим каждый член $27 {(x - 1)}^{2} = 0$ на $27$ .

$\frac{27 {(x - 1)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Этап 1.3.3.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.1.2.1

Сократим общий множитель $27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{27 {(x - 1)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Этап 1.3.3.3.1.2.1.2

Разделим ${(x - 1)}^{2}$ на $1$ .

${(x - 1)}^{2} = \frac{0}{27}$

Этап 1.3.3.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.1.3.1

Разделим $0$ на $27$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Этап 1.3.3.3.2

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 1.3.3.3.3

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 1.4

Вычислим $2 \sqrt[3]{x - 1} + 3$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем значение в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$2 \sqrt[3]{(1) - 1} + 3$

Этап 1.4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$2 \sqrt[3]{0} + 3$

Этап 1.4.1.2.1.2

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$2 \sqrt[3]{0^{3}} + 3$

Этап 1.4.1.2.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$2 \cdot 0 + 3$

Этап 1.4.1.2.1.4

Умножим $2$ на $0$ .

$0 + 3$

Этап 1.4.1.2.2

Добавим $0$ и $3$ .

$3$

Этап 1.4.2

Перечислим все точки.

$(1, 3)$

Этап 2

Вычислим на включенных конечных точках.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение в $x = - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Подставим $- 7$ вместо $x$ .

$2 \sqrt[3]{(- 7) - 1} + 3$

Этап 2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Вычтем $1$ из $- 7$ .

$2 \sqrt[3]{- 8} + 3$

Этап 2.1.2.1.2

Перепишем $- 8$ в виде ${(- 2)}^{3}$ .

$2 \sqrt[3]{{(- 2)}^{3}} + 3$

Этап 2.1.2.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$2 \cdot - 2 + 3$

Этап 2.1.2.1.4

Умножим $2$ на $- 2$ .

$- 4 + 3$

Этап 2.1.2.2

Добавим $- 4$ и $3$ .

$- 1$

Этап 2.2

Найдем значение в $x = 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Подставим $9$ вместо $x$ .

$2 \sqrt[3]{(9) - 1} + 3$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Вычтем $1$ из $9$ .

$2 \sqrt[3]{8} + 3$

Этап 2.2.2.1.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$2 \sqrt[3]{2^{3}} + 3$

Этап 2.2.2.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$2 \cdot 2 + 3$

Этап 2.2.2.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$4 + 3$

Этап 2.2.2.2

Добавим $4$ и $3$ .

$7$

Этап 2.3

Перечислим все точки.

$(- 7, - 1), (9, 7)$

Этап 3

Сравним значения $f (x)$ , найденные для каждого значения $x$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $f (x)$ , а минимум — при наименьшем значении $f (x)$ .

Абсолютный максимум: $(9, 7)$

Абсолютный минимум: $(- 7, - 1)$

Этап 4