Математический анализ Примеры

$f (x) = | x + 1 |$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = | x |$ и $g (x) = x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 1.1.2

Производная $| u |$ по $u$ равна $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.2.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} (1 + 0)$

Этап 1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot 1$

Этап 1.2.4.2

Умножим $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ на $1$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x + 1$ и $g (x) = | x + 1 |$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | \frac{d}{d x} (x + 1) - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | (1 + \frac{d}{d x} (1)) - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.2.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.2.4.2

Умножим $| x + 1 |$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{d}{d u} (| u |) \frac{d}{d x} (x + 1))}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.3.2

Производная $| u |$ по $u$ равна $\frac{u}{| u |}$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{u}{| u |} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1))}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1))}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)))}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (1)))}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.4.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot (1 + 0))}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot 1)}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.4.4.2

Умножим $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) \frac{x + 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + (- x - 1 \cdot 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |})}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.5.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + (- x - 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |})}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.5.2.1.2

Умножим $- x - 1$ на $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{(- x - 1) (x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.5.2.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{(- (x) - 1) (x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.5.2.1.3.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{(- (x) - 1 \cdot 1) (x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.5.2.1.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{- (x + 1) (x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.5.2.1.3.4

Перепишем $- (x + 1)$ в виде $- 1 (x + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{- 1 (x + 1) (x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.5.2.1.3.5

Возведем $x + 1$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{- 1 ((x + 1) (x + 1))}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.5.2.1.3.6

Возведем $x + 1$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{- 1 ((x + 1) (x + 1))}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.5.2.1.3.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{- 1 {(x + 1)}^{1 + 1}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.5.2.1.3.8

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{- 1 {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.5.2.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - \frac{{(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.5.2.2

Чтобы записать $| x + 1 |$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{| x + 1 |}{| x + 1 |}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x + 1 | | x + 1 |}{| x + 1 |} - \frac{{(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.5.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x + 1 | | x + 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.5.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1

Умножим $| x + 1 | | x + 1 |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1.1

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$f'' (x) = \frac{\frac{| (x + 1) (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.5.2.4.1.2

Возведем $x + 1$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| (x + 1) (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.5.2.4.1.3

Возведем $x + 1$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| (x + 1) (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.5.2.4.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{\frac{| {(x + 1)}^{1 + 1} | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.5.2.4.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| {(x + 1)}^{2} | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.5.2.4.2

Перепишем ${(x + 1)}^{2}$ в виде $(x + 1) (x + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| (x + 1) (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.5.2.4.3

Развернем $(x + 1) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x (x + 1) + 1 (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.5.2.4.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.5.2.4.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.5.2.4.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.5.2.4.4.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.5.2.4.4.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + x + x + 1 \cdot 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.5.2.4.4.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + x + x + 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.5.2.4.4.2

Добавим $x$ и $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.5.2.4.5

Перепишем ${(x + 1)}^{2}$ в виде $(x + 1) (x + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - ((x + 1) (x + 1))}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.5.2.4.6

Развернем $(x + 1) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x (x + 1) + 1 (x + 1))}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.5.2.4.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.5.2.4.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.5.2.4.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.7.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.5.2.4.7.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.5.2.4.7.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.5.2.4.7.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x^{2} + x + x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.5.2.4.7.2

Добавим $x$ и $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x^{2} + 2 x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.5.2.4.8

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.5.2.4.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.9.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - x^{2} - 2 x - 1 \cdot 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.5.2.4.9.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - x^{2} - 2 x - 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.5.2.4.10

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} - 2 x + | x^{2} + 2 x + 1 | - 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.5.2.4.11

Перепишем $- x^{2} - 2 x + | x^{2} + 2 x + 1 | - 1$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.11.1

Перегруппируем члены.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 - x^{2} - 2 x + | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.5.2.4.11.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2} - 2 x + | x^{2} + 2 x + 1 |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.11.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 - (x^{2}) - 2 x + | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.5.2.4.11.2.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 - (x^{2}) - (2 x) + | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.5.2.4.11.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $| x^{2} + 2 x + 1 |$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 - (x^{2}) - (2 x) - 1 (- | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.5.2.4.11.2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (2 x)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 - (x^{2} + 2 x) - 1 (- | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.5.2.4.11.2.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} + 2 x) - 1 (- | x^{2} + 2 x + 1 |)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 - (x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.5.2.4.11.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 - (x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.11.3.1

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 \cdot 1 - (x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.5.2.4.11.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 (1 + x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.5.2.4.11.3.3

Перепишем $- 1 (1 + x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)$ в виде $- (1 + x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- (1 + x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.5.2.4.11.4

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = \frac{\frac{- (x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.5.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.5.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Перепишем $\frac{- \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$ в виде произведения.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |} \cdot \frac{1}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.5.3.2

Умножим $\frac{1}{{| x + 1 |}^{2}}$ на $\frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2} | x + 1 |}$

Этап 2.5.3.3

Умножим ${| x + 1 |}^{2}$ на $| x + 1 |$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.3.1

Умножим ${| x + 1 |}^{2}$ на $| x + 1 |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.3.1.1

Возведем $| x + 1 |$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2} | x + 1 |}$

Этап 2.5.3.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2 + 1}}$

Этап 2.5.3.3.2

Добавим $2$ и $1$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{{| x + 1 |}^{3}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 4.1.1.2

Производная $| u |$ по $u$ равна $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 4.1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 4.1.2.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} (1 + 0)$

Этап 4.1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot 1$

Этап 4.1.2.4.2

Умножим $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{x + 1}{| x + 1 |}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{x + 1}{| x + 1 |} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$x + 1 = 0$

Этап 5.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 5.4

Исключим решения, которые не делают $\frac{x + 1}{| x + 1 |} = 0$ истинным.

$Нет решения$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим знаменатель в $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$| x + 1 | = 0$

Этап 6.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x + 1 = \pm 0$

Этап 6.2.2

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 6.2.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - 1$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = - 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 - | {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 |}{{| (- 1) + 1 |}^{3}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$- \frac{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 - | {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 |}{{| 0 |}^{3}}$

Этап 9.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $0$ равно $0$ .

$- \frac{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 - | {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 |}{0^{3}}$

Этап 9.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 - | {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 |}{0}$

Этап 9.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 10

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Этап 10.2

Подставим любое число такое, что $- 4$ , из интервала $(- \infty, - 1)$ в первую производную $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f' (- 4) = \frac{(- 4) + 1}{| (- 4) + 1 |}$

Этап 10.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Добавим $- 4$ и $1$ .

$f' (- 4) = \frac{- 3}{| - 4 + 1 |}$

Этап 10.2.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Добавим $- 4$ и $1$ .

$f' (- 4) = \frac{- 3}{| - 3 |}$

Этап 10.2.2.2.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 3$ и $0$ равно $3$ .

$f' (- 4) = \frac{- 3}{3}$

Этап 10.2.2.3

Разделим $- 3$ на $3$ .

$f' (- 4) = - 1$

Этап 10.2.2.4

Окончательный ответ: $- 1$ .

$- 1$

Этап 10.3

Подставим любое число такое, что $0$ , из интервала $(- 1, \infty)$ в первую производную $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f' (0) = \frac{(0) + 1}{| (0) + 1 |}$

Этап 10.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Добавим $0$ и $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{| 0 + 1 |}$

Этап 10.3.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.2.1

Добавим $0$ и $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{| 1 |}$

Этап 10.3.2.2.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{1}$

Этап 10.3.2.3

Разделим $1$ на $1$ .

$f' (0) = 1$

Этап 10.3.2.4

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 10.4

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = - 1$ , $x = - 1$ — локальный минимум.

$x = - 1$ — локальный минимум

Этап 11