Математический анализ Примеры

y = 2 {(\frac{1}{5})}^{x}

$y = 2 {(\frac{1}{5})}^{x}$ ,

[- 2, 3]

$[- 2, 3]$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Поскольку

2

$2$ является константой относительно

x

$x$ , производная

2 {(\frac{1}{5})}^{x}

$2 {(\frac{1}{5})}^{x}$ по

x

$x$ равна

2 \frac{d}{d x} [{(\frac{1}{5})}^{x}]

$2 \frac{d}{d x} [{(\frac{1}{5})}^{x}]$ .

2 \frac{d}{d x} [{(\frac{1}{5})}^{x}]

$2 \frac{d}{d x} [{(\frac{1}{5})}^{x}]$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [a^{x}]

$\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид

a^{x} \ln (a)

$a^{x} \ln (a)$ , где

a

$a$ =

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ .

2 ({(\frac{1}{5})}^{x} \ln (\frac{1}{5}))

$2 ({(\frac{1}{5})}^{x} \ln (\frac{1}{5}))$

Этап 1.1.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Применим правило умножения к

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ .

2 \frac{1^{x}}{5^{x}} \ln (\frac{1}{5})

$2 \frac{1^{x}}{5^{x}} \ln (\frac{1}{5})$

Этап 1.1.1.3.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.1

Единица в любой степени равна единице.

2 \frac{1}{5^{x}} \ln (\frac{1}{5})

$2 \frac{1}{5^{x}} \ln (\frac{1}{5})$

Этап 1.1.1.3.2.2

Объединим

2

$2$ и

\frac{1}{5^{x}}

$\frac{1}{5^{x}}$ .

\frac{2}{5^{x}} \ln (\frac{1}{5})

$\frac{2}{5^{x}} \ln (\frac{1}{5})$

Этап 1.1.1.3.2.3

Объединим

\frac{2}{5^{x}}

$\frac{2}{5^{x}}$ и

\ln (\frac{1}{5})

$\ln (\frac{1}{5})$ .

f' (x) = \frac{2 \ln (\frac{1}{5})}{5^{x}}

$f' (x) = \frac{2 \ln (\frac{1}{5})}{5^{x}}$

f' (x) = \frac{2 \ln (\frac{1}{5})}{5^{x}}

$f' (x) = \frac{2 \ln (\frac{1}{5})}{5^{x}}$

f' (x) = \frac{2 \ln (\frac{1}{5})}{5^{x}}

$f' (x) = \frac{2 \ln (\frac{1}{5})}{5^{x}}$

f' (x) = \frac{2 \ln (\frac{1}{5})}{5^{x}}

$f' (x) = \frac{2 \ln (\frac{1}{5})}{5^{x}}$

Этап 1.1.2

Первая производная

f (x)

$f (x)$ по

x

$x$ равна

\frac{2 \ln (\frac{1}{5})}{5^{x}}

$\frac{2 \ln (\frac{1}{5})}{5^{x}}$ .

\frac{2 \ln (\frac{1}{5})}{5^{x}}

$\frac{2 \ln (\frac{1}{5})}{5^{x}}$

\frac{2 \ln (\frac{1}{5})}{5^{x}}

$\frac{2 \ln (\frac{1}{5})}{5^{x}}$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к

0

$0$ , затем найдем решение уравнения

\frac{2 \ln (\frac{1}{5})}{5^{x}} = 0

$\frac{2 \ln (\frac{1}{5})}{5^{x}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна

0

$0$ .

\frac{2 \ln (\frac{1}{5})}{5^{x}} = 0

$\frac{2 \ln (\frac{1}{5})}{5^{x}} = 0$

Этап 1.2.2

Приравняем числитель к нулю.

2 \ln (\frac{1}{5}) = 0

$2 \ln (\frac{1}{5}) = 0$

Этап 1.2.3

Решим уравнение относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Упростим

2 \log_{2.71828182} (\frac{1}{5})

$2 \log_{2.71828182} (\frac{1}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Упростим

2 \log_{2.71828182} (\frac{1}{5})

$2 \log_{2.71828182} (\frac{1}{5})$ путем переноса

2

$2$ под логарифм.

\log_{2.71828182} ({(\frac{1}{5})}^{2}) = 0

$\log_{2.71828182} ({(\frac{1}{5})}^{2}) = 0$

Этап 1.2.3.1.2

Применим правило умножения к

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ .

\log_{2.71828182} (\frac{1^{2}}{5^{2}}) = 0

$\log_{2.71828182} (\frac{1^{2}}{5^{2}}) = 0$

Этап 1.2.3.1.3

Единица в любой степени равна единице.

\log_{2.71828182} (\frac{1}{5^{2}}) = 0

$\log_{2.71828182} (\frac{1}{5^{2}}) = 0$

Этап 1.2.3.1.4

Возведем

5

$5$ в степень

2

$2$ .

\log_{2.71828182} (\frac{1}{25}) = 0

$\log_{2.71828182} (\frac{1}{25}) = 0$

\log_{2.71828182} (\frac{1}{25}) = 0

$\log_{2.71828182} (\frac{1}{25}) = 0$

Этап 1.2.3.2

Поскольку

\log_{2.71828182} (\frac{1}{25}) \neq 0

$\log_{2.71828182} (\frac{1}{25}) \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 1.4

В области определения исходной задачи нет значений

x

$x$ , при которых производная равна

0

$0$ или не определена.

Критические точки не найдены

Этап 2

Вычислим на включенных конечных точках.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение в

x = - 2

$x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Подставим

- 2

$- 2$ вместо

x

$x$ .

2 {(\frac{1}{5})}^{- 2}

$2 {(\frac{1}{5})}^{- 2}$

Этап 2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Изменим знак экспоненты, переписав основание в виде обратной величины.

2 \cdot 5^{2}

$2 \cdot 5^{2}$

Этап 2.1.2.2

Возведем

5

$5$ в степень

2

$2$ .

2 \cdot 25

$2 \cdot 25$

Этап 2.1.2.3

Умножим

2

$2$ на

25

$25$ .

50

$50$

50

$50$

50

$50$

Этап 2.2

Найдем значение в

x = 3

$x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Подставим

3

$3$ вместо

x

$x$ .

2 {(\frac{1}{5})}^{3}

$2 {(\frac{1}{5})}^{3}$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Применим правило умножения к

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ .

2 \frac{1^{3}}{5^{3}}

$2 \frac{1^{3}}{5^{3}}$

Этап 2.2.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

2 \frac{1}{5^{3}}

$2 \frac{1}{5^{3}}$

Этап 2.2.2.1.3

Возведем

5

$5$ в степень

3

$3$ .

2 (\frac{1}{125})

$2 (\frac{1}{125})$

2 (\frac{1}{125})

$2 (\frac{1}{125})$

Этап 2.2.2.2

Объединим

2

$2$ и

\frac{1}{125}

$\frac{1}{125}$ .

\frac{2}{125}

$\frac{2}{125}$

\frac{2}{125}

$\frac{2}{125}$

\frac{2}{125}

$\frac{2}{125}$

Этап 2.3

Перечислим все точки.

(- 2, 50), (3, \frac{2}{125})

$(- 2, 50), (3, \frac{2}{125})$

(- 2, 50), (3, \frac{2}{125})

$(- 2, 50), (3, \frac{2}{125})$

Этап 3

Сравним значения

f (x)

$f (x)$ , найденные для каждого значения

x

$x$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении

f (x)

$f (x)$ , а минимум — при наименьшем значении

f (x)

$f (x)$ .

Абсолютный максимум:

(- 2, 50)

$(- 2, 50)$

Абсолютный минимум:

(3, \frac{2}{125})

$(3, \frac{2}{125})$

Этап 4