Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 4$ , $[0, 3]$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Поскольку $\frac{2}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ по $x$ равна $\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.1.2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.1.2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.1.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.1.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.1.2.6.2

Вычтем $2$ из $5$ .

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.1.2.7

Объединим $\frac{5}{2}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.1.2.8

Умножим $\frac{2}{5}$ на $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.1.2.9

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.1.2.10

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{10} + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.1.2.11

Сократим общий множитель.

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{10} + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.1.2.12

Разделим $x^{\frac{3}{2}}$ на $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Поскольку $- \frac{4}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ по $x$ равна $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.1.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.1.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.1.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.1.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.1.3.6.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.1.3.7

Объединим $\frac{3}{2}$ и $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.1.3.8

Умножим $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ на $\frac{4}{3}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 4}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.1.3.9

Умножим $4$ на $3$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{12 x^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.1.3.10

Умножим $2$ на $3$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{12 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.1.3.11

Вынесем множитель $6$ из $12 x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{6 (2 x^{\frac{1}{2}})}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.1.3.12

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.12.1

Вынесем множитель $6$ из $6$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{6 (2 x^{\frac{1}{2}})}{6 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.1.3.12.2

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{6 (2 x^{\frac{1}{2}})}{6 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.1.3.12.3

Перепишем это выражение.

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.1.3.12.4

Разделим $2 x^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} - (2 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.1.3.13

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x^{2}}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.1.4.3

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.1.4.4

Объединим $\frac{2}{2}$ и $x$ .

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.1.4.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.5.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.1.4.5.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.1.5

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x + 0$

Этап 1.1.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.6.1

Добавим $x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x$ и $0$ .

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x$

Этап 1.1.1.6.2

Изменим порядок членов.

$f' (x) = x + x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $x + x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$x + x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $x + x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$x + x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Этап 1.2.2

Найдем общий множитель $x^{\frac{1}{2}}$ , который присутствует в каждом члене.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{3} - 2 x^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.2.3

Подставим $u$ вместо $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(u)}^{2} {(u)}^{3} - 2 u = 0$

Этап 1.2.4

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Умножим ${(u)}^{2}$ на ${(u)}^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$u^{2 + 3} - 2 u = 0$

Этап 1.2.4.1.2

Добавим $2$ и $3$ .

$u^{5} - 2 u = 0$

Этап 1.2.4.2

Вынесем множитель $u$ из $u^{5} - 2 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Вынесем множитель $u$ из $u^{5}$ .

$u \cdot u^{4} - 2 u = 0$

Этап 1.2.4.2.2

Вынесем множитель $u$ из $- 2 u$ .

$u \cdot u^{4} + u \cdot - 2 = 0$

Этап 1.2.4.2.3

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot u^{4} + u \cdot - 2$ .

$u (u^{4} - 2) = 0$

Этап 1.2.4.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u = 0$

$u^{4} - 2 = 0$

Этап 1.2.4.4

Приравняем $u$ к $0$ .

$u = 0$

Этап 1.2.4.5

Приравняем $u^{4} - 2$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.5.1

Приравняем $u^{4} - 2$ к $0$ .

$u^{4} - 2 = 0$

Этап 1.2.4.5.2

Решим $u^{4} - 2 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.5.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$u^{4} = 2$

Этап 1.2.4.5.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$u = \pm \sqrt[4]{2}$

Этап 1.2.4.5.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.5.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$u = \sqrt[4]{2}$

Этап 1.2.4.5.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$u = - \sqrt[4]{2}$

Этап 1.2.4.5.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$u = \sqrt[4]{2}, - \sqrt[4]{2}$

Этап 1.2.4.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $u (u^{4} - 2) = 0$ верно.

$u = 0, \sqrt[4]{2}, - \sqrt[4]{2}$

Этап 1.2.5

Подставим $x$ вместо $u$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 0, \sqrt[4]{2}, - \sqrt[4]{2}$

Этап 1.2.6

Решим относительно $x^{\frac{1}{2}} = 0$ для $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Возведем обе части уравнения в степень $2$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 1.2.6.2

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 1.2.6.2.1.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 1.2.6.2.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = 0^{2}$

Этап 1.2.6.2.1.1.2

Упростим.

$x = 0^{2}$

Этап 1.2.6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.7

Решим относительно $x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[4]{2}$ для $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Возведем обе части уравнения в степень $2$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt[4]{2}}^{2}$

Этап 1.2.7.2

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.1.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt[4]{2}}^{2}$

Этап 1.2.7.2.1.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt[4]{2}}^{2}$

Этап 1.2.7.2.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = {\sqrt[4]{2}}^{2}$

Этап 1.2.7.2.1.1.2

Упростим.

$x = {\sqrt[4]{2}}^{2}$

Этап 1.2.7.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.2.1

Перепишем ${\sqrt[4]{2}}^{2}$ в виде $\sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{2}$ в виде $2^{\frac{1}{4}}$ .

$x = {(2^{\frac{1}{4}})}^{2}$

Этап 1.2.7.2.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 2^{\frac{1}{4} \cdot 2}$

Этап 1.2.7.2.2.1.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $2$ .

$x = 2^{\frac{2}{4}}$

Этап 1.2.7.2.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.2.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$x = 2^{\frac{2 (1)}{4}}$

Этап 1.2.7.2.2.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.2.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x = 2^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Этап 1.2.7.2.2.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$x = 2^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Этап 1.2.7.2.2.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$x = 2^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.2.7.2.2.1.5

Перепишем $2^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{2}$ .

$x = \sqrt{2}$

Этап 1.2.8

Перечислим все решения.

$x = 0, \sqrt{2}, \sqrt{2}$

Этап 1.2.9

Исключим решения, которые не делают $x + x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} = 0$ истинным.

$x = 0$

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$x + \sqrt{x^{3}} - 2 x^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.3.1.2

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$x + \sqrt{x^{3}} - 2 \sqrt{x^{1}}$

Этап 1.3.1.3

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$x + \sqrt{x^{3}} - 2 \sqrt{x}$

Этап 1.3.2

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x^{3}}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{3} < 0$

Этап 1.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Этап 1.3.3.2

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$x < \sqrt[3]{0}$

Этап 1.3.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.2.1

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.2.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 1.3.3.2.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x < 0$

Этап 1.3.4

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Этап 1.4

Вычислим $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 4$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$\frac{2 {(0)}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Этап 1.4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Этап 1.4.1.2.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Этап 1.4.1.2.1.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Этап 1.4.1.2.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \cdot 0^{5}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Этап 1.4.1.2.1.1.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{2 \cdot 0}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Этап 1.4.1.2.1.2

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{0}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Этап 1.4.1.2.1.3

Разделим $0$ на $5$ .

$0 - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Этап 1.4.1.2.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1.4.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$0 - \frac{4 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Этап 1.4.1.2.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - \frac{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Этап 1.4.1.2.1.4.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1.4.3.1

Сократим общий множитель.

$0 - \frac{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Этап 1.4.1.2.1.4.3.2

Перепишем это выражение.

$0 - \frac{4 \cdot 0^{3}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Этап 1.4.1.2.1.4.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - \frac{4 \cdot 0}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Этап 1.4.1.2.1.5

Умножим $4$ на $0$ .

$0 - \frac{0}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Этап 1.4.1.2.1.6

Разделим $0$ на $3$ .

$0 - 0 + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Этап 1.4.1.2.1.7

Умножим $- 1$ на $0$ .

$0 + 0 + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Этап 1.4.1.2.1.8

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 0 + \frac{0}{2} - 4$

Этап 1.4.1.2.1.9

Разделим $0$ на $2$ .

$0 + 0 + 0 - 4$

Этап 1.4.1.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 0 - 4$

Этап 1.4.1.2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0 - 4$

Этап 1.4.1.2.2.3

Вычтем $4$ из $0$ .

$- 4$

Этап 1.4.2

Перечислим все точки.

$(0, - 4)$

Этап 2

Вычислим на включенных конечных точках.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$\frac{2 {(0)}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Этап 2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Этап 2.1.2.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Этап 2.1.2.1.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Этап 2.1.2.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \cdot 0^{5}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Этап 2.1.2.1.1.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{2 \cdot 0}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Этап 2.1.2.1.2

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{0}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Этап 2.1.2.1.3

Разделим $0$ на $5$ .

$0 - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Этап 2.1.2.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.4.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$0 - \frac{4 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Этап 2.1.2.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - \frac{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Этап 2.1.2.1.4.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.4.3.1

Сократим общий множитель.

$0 - \frac{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Этап 2.1.2.1.4.3.2

Перепишем это выражение.

$0 - \frac{4 \cdot 0^{3}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Этап 2.1.2.1.4.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - \frac{4 \cdot 0}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Этап 2.1.2.1.5

Умножим $4$ на $0$ .

$0 - \frac{0}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Этап 2.1.2.1.6

Разделим $0$ на $3$ .

$0 - 0 + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Этап 2.1.2.1.7

Умножим $- 1$ на $0$ .

$0 + 0 + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Этап 2.1.2.1.8

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 0 + \frac{0}{2} - 4$

Этап 2.1.2.1.9

Разделим $0$ на $2$ .

$0 + 0 + 0 - 4$

Этап 2.1.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 0 - 4$

Этап 2.1.2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0 - 4$

Этап 2.1.2.2.3

Вычтем $4$ из $0$ .

$- 4$

Этап 2.2

Найдем значение в $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Подставим $3$ вместо $x$ .

$\frac{2 {(3)}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 {(3)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(3)}^{2}}{2} - 4$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Перенесем $3^{1}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - (4 {(3)}^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{- 1}) + \frac{{(3)}^{2}}{2} - 4$

Этап 2.2.2.1.2

Умножим ${(3)}^{\frac{3}{2}}$ на $3^{- 1}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.2.1

Перенесем $3^{- 1}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - (4 (3^{- 1} {(3)}^{\frac{3}{2}})) + \frac{{(3)}^{2}}{2} - 4$

Этап 2.2.2.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - (4 \cdot 3^{- 1 + \frac{3}{2}}) + \frac{{(3)}^{2}}{2} - 4$

Этап 2.2.2.1.2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - (4 \cdot 3^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}) + \frac{{(3)}^{2}}{2} - 4$

Этап 2.2.2.1.2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - (4 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}) + \frac{{(3)}^{2}}{2} - 4$

Этап 2.2.2.1.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - (4 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}}) + \frac{{(3)}^{2}}{2} - 4$

Этап 2.2.2.1.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.2.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - (4 \cdot 3^{\frac{- 2 + 3}{2}}) + \frac{{(3)}^{2}}{2} - 4$

Этап 2.2.2.1.2.6.2

Добавим $- 2$ и $3$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - (4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) + \frac{{(3)}^{2}}{2} - 4$

Этап 2.2.2.1.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + \frac{{(3)}^{2}}{2} - 4$

Этап 2.2.2.1.4

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + \frac{9}{2} - 4$

Этап 2.2.2.2

Чтобы записать $- 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{5}{5} + \frac{9}{2} - 4$

Этап 2.2.2.3

Объединим $- 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{- 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 5}{5} + \frac{9}{2} - 4$

Этап 2.2.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.4.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}} - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 5}{5} + \frac{9}{2} - 4$

Этап 2.2.2.4.2

Умножим $5$ на $- 4$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}} - 20 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{9}{2} - 4$

Этап 2.2.2.5

Чтобы записать $- 4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}} - 20 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{9}{2} - 4 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 2.2.2.6

Объединим $- 4$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}} - 20 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{9}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2}$

Этап 2.2.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}} - 20 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{9 - 4 \cdot 2}{2}$

Этап 2.2.2.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.8.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}} - 20 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{9 - 8}{2}$

Этап 2.2.2.8.2

Вычтем $8$ из $9$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}} - 20 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{1}{2}$

Этап 2.3

Перечислим все точки.

$(0, - 4), (3, \frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}} - 20 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{1}{2})$

Этап 3

Сравним значения $f (x)$ , найденные для каждого значения $x$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $f (x)$ , а минимум — при наименьшем значении $f (x)$ .

Абсолютный максимум: $(3, \frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}} - 20 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{1}{2})$

Абсолютный минимум: $(0, - 4)$

Этап 4