Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{3} - 10 x^{2} + 27 x - 18$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} - 10 x^{2} + 27 x - 18$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 10$ является константой относительно $x$ , производная $- 10 x^{2}$ по $x$ равна $- 10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 10 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{2} - 10 (2 x) + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 1.2.3

Умножим $2$ на $- 10$ .

$3 x^{2} - 20 x + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [27 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $27$ является константой относительно $x$ , производная $27 x$ по $x$ равна $27 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 20 x + 27 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} - 20 x + 27 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 1.3.3

Умножим $27$ на $1$ .

$3 x^{2} - 20 x + 27 + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 18$ является константой относительно $x$ , производная $- 18$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{2} - 20 x + 27 + 0$

Этап 1.4.2

Добавим $3 x^{2} - 20 x + 27$ и $0$ .

$3 x^{2} - 20 x + 27$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $3 x^{2} - 20 x + 27$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 20 x) + \frac{d}{d x} (27)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 20 x) + \frac{d}{d x} (27)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 20 x) + \frac{d}{d x} (27)$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 20 x) + \frac{d}{d x} (27)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 20 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 20$ является константой относительно $x$ , производная $- 20 x$ по $x$ равна $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 20 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (27)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (27)$

Этап 2.3.3

Умножим $- 20$ на $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 20 + \frac{d}{d x} (27)$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $27$ является константой относительно $x$ , производная $27$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 20 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $6 x - 20$ и $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 20$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$3 x^{2} - 20 x + 27 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 4.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $- 10$ является константой относительно $x$ , производная $- 10 x^{2}$ по $x$ равна $- 10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 10 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{2} - 10 (2 x) + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $2$ на $- 10$ .

$3 x^{2} - 20 x + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [27 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $27$ является константой относительно $x$ , производная $27 x$ по $x$ равна $27 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 20 x + 27 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} - 20 x + 27 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $27$ на $1$ .

$3 x^{2} - 20 x + 27 + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 18$ является константой относительно $x$ , производная $- 18$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{2} - 20 x + 27 + 0$

Этап 4.1.4.2

Добавим $3 x^{2} - 20 x + 27$ и $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 20 x + 27$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $3 x^{2} - 20 x + 27$ .

$3 x^{2} - 20 x + 27$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 x^{2} - 20 x + 27 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$3 x^{2} - 20 x + 27 = 0$

Этап 5.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.3

Подставим значения $a = 3$ , $b = - 20$ и $c = 27$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 27)}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Возведем $- 20$ в степень $2$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 3 \cdot 27}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot 27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 12 \cdot 27}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.4.1.2.2

Умножим $- 12$ на $27$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 324}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.4.1.3

Вычтем $324$ из $400$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.4.1.4

Перепишем $76$ в виде $2^{2} \cdot 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $76$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{20 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{20 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$

Этап 5.4.3

Упростим $\frac{20 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{19}}{3}$

Этап 5.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Возведем $- 20$ в степень $2$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 3 \cdot 27}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot 27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 12 \cdot 27}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.5.1.2.2

Умножим $- 12$ на $27$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 324}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.5.1.3

Вычтем $324$ из $400$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.5.1.4

Перепишем $76$ в виде $2^{2} \cdot 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $76$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{20 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.5.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{20 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$

Этап 5.5.3

Упростим $\frac{20 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{19}}{3}$

Этап 5.5.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{10 + \sqrt{19}}{3}$

Этап 5.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

Возведем $- 20$ в степень $2$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 3 \cdot 27}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot 27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 12 \cdot 27}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.6.1.2.2

Умножим $- 12$ на $27$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 324}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.6.1.3

Вычтем $324$ из $400$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.6.1.4

Перепишем $76$ в виде $2^{2} \cdot 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $76$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{20 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.6.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{20 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$

Этап 5.6.3

Упростим $\frac{20 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{19}}{3}$

Этап 5.6.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{10 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 5.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{10 + \sqrt{19}}{3}, \frac{10 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{10 + \sqrt{19}}{3}, \frac{10 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \frac{10 + \sqrt{19}}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$6 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 20$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$3 (2) \frac{10 + \sqrt{19}}{3} - 20$

Этап 9.1.1.2

Сократим общий множитель.

$3 \cdot 2 \frac{10 + \sqrt{19}}{3} - 20$

Этап 9.1.1.3

Перепишем это выражение.

$2 (10 + \sqrt{19}) - 20$

Этап 9.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cdot 10 + 2 \sqrt{19} - 20$

Этап 9.1.3

Умножим $2$ на $10$ .

$20 + 2 \sqrt{19} - 20$

Этап 9.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вычтем $20$ из $20$ .

$0 + 2 \sqrt{19}$

Этап 9.2.2

Добавим $0$ и $2 \sqrt{19}$ .

$2 \sqrt{19}$

Этап 10

$x = \frac{10 + \sqrt{19}}{3}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{10 + \sqrt{19}}{3}$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = \frac{10 + \sqrt{19}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{10 + \sqrt{19}}{3}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{3} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{10 + \sqrt{19}}{3}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{{(10 + \sqrt{19})}^{3}}{3^{3}} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 11.2.1.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{{(10 + \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 11.2.1.3

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{10^{3} + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 3 \cdot (10 {\sqrt{19}}^{2}) + {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 11.2.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.1

Возведем $10$ в степень $3$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 3 \cdot (10 {\sqrt{19}}^{2}) + {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 11.2.1.4.2

Умножим $3$ на $10$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 {\sqrt{19}}^{2} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 11.2.1.4.3

Перепишем ${\sqrt{19}}^{2}$ в виде $19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{19}$ в виде $19^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 {(19^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 11.2.1.4.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 \cdot 19^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 11.2.1.4.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 \cdot 19^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 11.2.1.4.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 \cdot 19^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 11.2.1.4.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 \cdot 19 + {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 11.2.1.4.3.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 \cdot 19 + {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 11.2.1.4.4

Умножим $30$ на $19$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 + {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 11.2.1.4.5

Перепишем ${\sqrt{19}}^{3}$ в виде $\sqrt{19^{3}}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 + \sqrt{19^{3}}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 11.2.1.4.6

Возведем $19$ в степень $3$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 + \sqrt{6859}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 11.2.1.4.7

Перепишем $6859$ в виде $19^{2} \cdot 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.7.1

Вынесем множитель $361$ из $6859$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 + \sqrt{361 (19)}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 11.2.1.4.7.2

Перепишем $361$ в виде $19^{2}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 + \sqrt{19^{2} \cdot 19}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 11.2.1.4.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 11.2.1.5

Добавим $1000$ и $570$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 11.2.1.6

Применим правило умножения к $\frac{10 + \sqrt{19}}{3}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{{(10 + \sqrt{19})}^{2}}{3^{2}} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 11.2.1.7

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{{(10 + \sqrt{19})}^{2}}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 11.2.1.8

Перепишем ${(10 + \sqrt{19})}^{2}$ в виде $(10 + \sqrt{19}) (10 + \sqrt{19})$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{(10 + \sqrt{19}) (10 + \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 11.2.1.9

Развернем $(10 + \sqrt{19}) (10 + \sqrt{19})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{10 (10 + \sqrt{19}) + \sqrt{19} (10 + \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 11.2.1.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{10 \cdot 10 + 10 \sqrt{19} + \sqrt{19} (10 + \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 11.2.1.9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{10 \cdot 10 + 10 \sqrt{19} + \sqrt{19} \cdot 10 + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 11.2.1.10

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.10.1.1

Умножим $10$ на $10$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 + 10 \sqrt{19} + \sqrt{19} \cdot 10 + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 11.2.1.10.1.2

Перенесем $10$ влево от $\sqrt{19}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 + 10 \sqrt{19} + 10 \cdot \sqrt{19} + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 11.2.1.10.1.3

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 + 10 \sqrt{19} + 10 \sqrt{19} + \sqrt{19 \cdot 19}}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 11.2.1.10.1.4

Умножим $19$ на $19$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 + 10 \sqrt{19} + 10 \sqrt{19} + \sqrt{361}}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 11.2.1.10.1.5

Перепишем $361$ в виде $19^{2}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 + 10 \sqrt{19} + 10 \sqrt{19} + \sqrt{19^{2}}}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 11.2.1.10.1.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 + 10 \sqrt{19} + 10 \sqrt{19} + 19}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 11.2.1.10.2

Добавим $100$ и $19$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{119 + 10 \sqrt{19} + 10 \sqrt{19}}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 11.2.1.10.3

Добавим $10 \sqrt{19}$ и $10 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{119 + 20 \sqrt{19}}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 11.2.1.11

Объединим $- 10$ и $\frac{119 + 20 \sqrt{19}}{9}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} + \frac{- 10 (119 + 20 \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 11.2.1.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 + 20 \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 11.2.1.13

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.13.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 + 20 \sqrt{19})}{9} + 3 (9) (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 11.2.1.13.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 + 20 \sqrt{19})}{9} + 3 \cdot (9 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3})) - 18$

Этап 11.2.1.13.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 + 20 \sqrt{19})}{9} + 9 (10 + \sqrt{19}) - 18$

Этап 11.2.1.14

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 + 20 \sqrt{19})}{9} + 9 \cdot 10 + 9 \sqrt{19} - 18$

Этап 11.2.1.15

Умножим $9$ на $10$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 + 20 \sqrt{19})}{9} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

Этап 11.2.2

Чтобы записать $- \frac{10 (119 + 20 \sqrt{19})}{9}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 + 20 \sqrt{19})}{9} \cdot \frac{3}{3} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

Этап 11.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $27$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Умножим $\frac{10 (119 + 20 \sqrt{19})}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 + 20 \sqrt{19}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

Этап 11.2.3.2

Умножим $9$ на $3$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 + 20 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

Этап 11.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19} - 10 (119 + 20 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

Этап 11.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19} + (- 10 \cdot 119 - 10 (20 \sqrt{19})) \cdot 3}{27} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

Этап 11.2.5.2

Умножим $- 10$ на $119$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19} + (- 1190 - 10 (20 \sqrt{19})) \cdot 3}{27} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

Этап 11.2.5.3

Умножим $20$ на $- 10$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19} + (- 1190 - 200 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

Этап 11.2.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19} - 1190 \cdot 3 - 200 \sqrt{19} \cdot 3}{27} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

Этап 11.2.5.5

Умножим $- 1190$ на $3$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19} - 3570 - 200 \sqrt{19} \cdot 3}{27} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

Этап 11.2.5.6

Умножим $3$ на $- 200$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19} - 3570 - 600 \sqrt{19}}{27} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

Этап 11.2.5.7

Вычтем $3570$ из $1570$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 + 19 \sqrt{19} - 600 \sqrt{19}}{27} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

Этап 11.2.5.8

Вычтем $600 \sqrt{19}$ из $19 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 - 581 \sqrt{19}}{27} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

Этап 11.2.6

Чтобы записать $90$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 - 581 \sqrt{19}}{27} + 90 \cdot \frac{27}{27} + 9 \sqrt{19} - 18$

Этап 11.2.7

Объединим $90$ и $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 - 581 \sqrt{19}}{27} + \frac{90 \cdot 27}{27} + 9 \sqrt{19} - 18$

Этап 11.2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.8.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 - 581 \sqrt{19} + 90 \cdot 27}{27} + 9 \sqrt{19} - 18$

Этап 11.2.8.2

Умножим $90$ на $27$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 - 581 \sqrt{19} + 2430}{27} + 9 \sqrt{19} - 18$

Этап 11.2.8.3

Добавим $- 2000$ и $2430$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 - 581 \sqrt{19}}{27} + 9 \sqrt{19} - 18$

Этап 11.2.9

Чтобы записать $9 \sqrt{19}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 - 581 \sqrt{19}}{27} + 9 \sqrt{19} \cdot \frac{27}{27} - 18$

Этап 11.2.10

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.10.1

Объединим $9 \sqrt{19}$ и $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 - 581 \sqrt{19}}{27} + \frac{9 \sqrt{19} \cdot 27}{27} - 18$

Этап 11.2.10.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 - 581 \sqrt{19} + 9 \sqrt{19} \cdot 27}{27} - 18$

Этап 11.2.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.11.1

Умножим $27$ на $9$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 - 581 \sqrt{19} + 243 \sqrt{19}}{27} - 18$

Этап 11.2.11.2

Добавим $- 581 \sqrt{19}$ и $243 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 - 338 \sqrt{19}}{27} - 18$

Этап 11.2.12

Чтобы записать $- 18$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 - 338 \sqrt{19}}{27} - 18 \cdot \frac{27}{27}$

Этап 11.2.13

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.13.1

Объединим $- 18$ и $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 - 338 \sqrt{19}}{27} + \frac{- 18 \cdot 27}{27}$

Этап 11.2.13.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 - 338 \sqrt{19} - 18 \cdot 27}{27}$

Этап 11.2.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.14.1

Умножим $- 18$ на $27$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 - 338 \sqrt{19} - 486}{27}$

Этап 11.2.14.2

Вычтем $486$ из $430$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 56 - 338 \sqrt{19}}{27}$

Этап 11.2.15

Окончательный ответ: $\frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 56 - 338 \sqrt{19}}{27}$ .

$y = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 56 - 338 \sqrt{19}}{27}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = \frac{10 - \sqrt{19}}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$6 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 20$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$3 (2) \frac{10 - \sqrt{19}}{3} - 20$

Этап 13.1.1.2

Сократим общий множитель.

$3 \cdot 2 \frac{10 - \sqrt{19}}{3} - 20$

Этап 13.1.1.3

Перепишем это выражение.

$2 (10 - \sqrt{19}) - 20$

Этап 13.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cdot 10 + 2 (- \sqrt{19}) - 20$

Этап 13.1.3

Умножим $2$ на $10$ .

$20 + 2 (- \sqrt{19}) - 20$

Этап 13.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$20 - 2 \sqrt{19} - 20$

Этап 13.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Вычтем $20$ из $20$ .

$0 - 2 \sqrt{19}$

Этап 13.2.2

Вычтем $2 \sqrt{19}$ из $0$ .

$- 2 \sqrt{19}$

Этап 14

$x = \frac{10 - \sqrt{19}}{3}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{10 - \sqrt{19}}{3}$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = \frac{10 - \sqrt{19}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{10 - \sqrt{19}}{3}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{3} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{10 - \sqrt{19}}{3}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{{(10 - \sqrt{19})}^{3}}{3^{3}} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 15.2.1.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{{(10 - \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 15.2.1.3

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{10^{3} + 3 \cdot 10^{2} (- \sqrt{19}) + 3 \cdot (10 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 15.2.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.4.1

Возведем $10$ в степень $3$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} (- \sqrt{19}) + 3 \cdot (10 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 15.2.1.4.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 3 \cdot (10 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 15.2.1.4.3

Умножим $3$ на $10$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 {(- \sqrt{19})}^{2} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 15.2.1.4.4

Применим правило умножения к $- \sqrt{19}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{19}}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 15.2.1.4.5

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 (1 {\sqrt{19}}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 15.2.1.4.6

Умножим ${\sqrt{19}}^{2}$ на $1$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 {\sqrt{19}}^{2} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 15.2.1.4.7

Перепишем ${\sqrt{19}}^{2}$ в виде $19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.4.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{19}$ в виде $19^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 {(19^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 15.2.1.4.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 \cdot 19^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 15.2.1.4.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 \cdot 19^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 15.2.1.4.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.4.7.4.1

Сократим общий множитель.

Этап 15.2.1.4.7.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 \cdot 19 + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 15.2.1.4.7.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 \cdot 19 + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 15.2.1.4.8

Умножим $30$ на $19$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 15.2.1.4.9

Применим правило умножения к $- \sqrt{19}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 15.2.1.4.10

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 - {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 15.2.1.4.11

Перепишем ${\sqrt{19}}^{3}$ в виде $\sqrt{19^{3}}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 - \sqrt{19^{3}}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 15.2.1.4.12

Возведем $19$ в степень $3$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 - \sqrt{6859}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 15.2.1.4.13

Перепишем $6859$ в виде $19^{2} \cdot 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.4.13.1

Вынесем множитель $361$ из $6859$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 - \sqrt{361 (19)}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 15.2.1.4.13.2

Перепишем $361$ в виде $19^{2}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 - \sqrt{19^{2} \cdot 19}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 15.2.1.4.14

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 - (19 \sqrt{19})}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 15.2.1.4.15

Умножим $19$ на $- 1$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 15.2.1.5

Добавим $1000$ и $570$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 15.2.1.6

Применим правило умножения к $\frac{10 - \sqrt{19}}{3}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{{(10 - \sqrt{19})}^{2}}{3^{2}} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 15.2.1.7

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{{(10 - \sqrt{19})}^{2}}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 15.2.1.8

Перепишем ${(10 - \sqrt{19})}^{2}$ в виде $(10 - \sqrt{19}) (10 - \sqrt{19})$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{(10 - \sqrt{19}) (10 - \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 15.2.1.9

Развернем $(10 - \sqrt{19}) (10 - \sqrt{19})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{10 (10 - \sqrt{19}) - \sqrt{19} (10 - \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 15.2.1.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{10 \cdot 10 + 10 (- \sqrt{19}) - \sqrt{19} (10 - \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 15.2.1.9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{10 \cdot 10 + 10 (- \sqrt{19}) - \sqrt{19} \cdot 10 - \sqrt{19} (- \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 15.2.1.10

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.10.1.1

Умножим $10$ на $10$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 + 10 (- \sqrt{19}) - \sqrt{19} \cdot 10 - \sqrt{19} (- \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 15.2.1.10.1.2

Умножим $- 1$ на $10$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - \sqrt{19} \cdot 10 - \sqrt{19} (- \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 15.2.1.10.1.3

Умножим $10$ на $- 1$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} - \sqrt{19} (- \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 15.2.1.10.1.4

Умножим $- \sqrt{19} (- \sqrt{19})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.10.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + 1 \sqrt{19} \sqrt{19}}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 15.2.1.10.1.4.2

Умножим $\sqrt{19}$ на $1$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 15.2.1.10.1.4.3

Возведем $\sqrt{19}$ в степень $1$ .

Этап 15.2.1.10.1.4.4

Возведем $\sqrt{19}$ в степень $1$ .

Этап 15.2.1.10.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + {\sqrt{19}}^{1 + 1}}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 15.2.1.10.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + {\sqrt{19}}^{2}}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 15.2.1.10.1.5

Перепишем ${\sqrt{19}}^{2}$ в виде $19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.10.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{19}$ в виде $19^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + {(19^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 15.2.1.10.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + 19^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 15.2.1.10.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + 19^{\frac{2}{2}}}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 15.2.1.10.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.10.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + 19^{\frac{2}{2}}}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 15.2.1.10.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + 19}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 15.2.1.10.1.5.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + 19}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 15.2.1.10.2

Добавим $100$ и $19$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{119 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19}}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 15.2.1.10.3

Вычтем $10 \sqrt{19}$ из $- 10 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{119 - 20 \sqrt{19}}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 15.2.1.11

Объединим $- 10$ и $\frac{119 - 20 \sqrt{19}}{9}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} + \frac{- 10 (119 - 20 \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 15.2.1.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 - 20 \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 15.2.1.13

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.13.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 - 20 \sqrt{19})}{9} + 3 (9) (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Этап 15.2.1.13.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 - 20 \sqrt{19})}{9} + 3 \cdot (9 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3})) - 18$

Этап 15.2.1.13.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 - 20 \sqrt{19})}{9} + 9 (10 - \sqrt{19}) - 18$

Этап 15.2.1.14

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 - 20 \sqrt{19})}{9} + 9 \cdot 10 + 9 (- \sqrt{19}) - 18$

Этап 15.2.1.15

Умножим $9$ на $10$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 - 20 \sqrt{19})}{9} + 90 + 9 (- \sqrt{19}) - 18$

Этап 15.2.1.16

Умножим $- 1$ на $9$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 - 20 \sqrt{19})}{9} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

Этап 15.2.2

Чтобы записать $- \frac{10 (119 - 20 \sqrt{19})}{9}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 - 20 \sqrt{19})}{9} \cdot \frac{3}{3} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

Этап 15.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $27$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.3.1

Умножим $\frac{10 (119 - 20 \sqrt{19})}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 - 20 \sqrt{19}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

Этап 15.2.3.2

Умножим $9$ на $3$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 - 20 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

Этап 15.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19} - 10 (119 - 20 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

Этап 15.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19} + (- 10 \cdot 119 - 10 (- 20 \sqrt{19})) \cdot 3}{27} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

Этап 15.2.5.2

Умножим $- 10$ на $119$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19} + (- 1190 - 10 (- 20 \sqrt{19})) \cdot 3}{27} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

Этап 15.2.5.3

Умножим $- 20$ на $- 10$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19} + (- 1190 + 200 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

Этап 15.2.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19} - 1190 \cdot 3 + 200 \sqrt{19} \cdot 3}{27} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

Этап 15.2.5.5

Умножим $- 1190$ на $3$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19} - 3570 + 200 \sqrt{19} \cdot 3}{27} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

Этап 15.2.5.6

Умножим $3$ на $200$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19} - 3570 + 600 \sqrt{19}}{27} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

Этап 15.2.5.7

Вычтем $3570$ из $1570$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 - 19 \sqrt{19} + 600 \sqrt{19}}{27} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

Этап 15.2.5.8

Добавим $- 19 \sqrt{19}$ и $600 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 + 581 \sqrt{19}}{27} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

Этап 15.2.6

Чтобы записать $90$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 + 581 \sqrt{19}}{27} + 90 \cdot \frac{27}{27} - 9 \sqrt{19} - 18$

Этап 15.2.7

Объединим $90$ и $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 + 581 \sqrt{19}}{27} + \frac{90 \cdot 27}{27} - 9 \sqrt{19} - 18$

Этап 15.2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.8.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 + 581 \sqrt{19} + 90 \cdot 27}{27} - 9 \sqrt{19} - 18$

Этап 15.2.8.2

Умножим $90$ на $27$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 + 581 \sqrt{19} + 2430}{27} - 9 \sqrt{19} - 18$

Этап 15.2.8.3

Добавим $- 2000$ и $2430$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 + 581 \sqrt{19}}{27} - 9 \sqrt{19} - 18$

Этап 15.2.9

Чтобы записать $- 9 \sqrt{19}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 + 581 \sqrt{19}}{27} - 9 \sqrt{19} \cdot \frac{27}{27} - 18$

Этап 15.2.10

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.10.1

Объединим $- 9 \sqrt{19}$ и $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 + 581 \sqrt{19}}{27} + \frac{- 9 \sqrt{19} \cdot 27}{27} - 18$

Этап 15.2.10.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 + 581 \sqrt{19} - 9 \sqrt{19} \cdot 27}{27} - 18$

Этап 15.2.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.11.1

Умножим $27$ на $- 9$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 + 581 \sqrt{19} - 243 \sqrt{19}}{27} - 18$

Этап 15.2.11.2

Вычтем $243 \sqrt{19}$ из $581 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 + 338 \sqrt{19}}{27} - 18$

Этап 15.2.12

Чтобы записать $- 18$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 + 338 \sqrt{19}}{27} - 18 \cdot \frac{27}{27}$

Этап 15.2.13

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.13.1

Объединим $- 18$ и $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 + 338 \sqrt{19}}{27} + \frac{- 18 \cdot 27}{27}$

Этап 15.2.13.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 + 338 \sqrt{19} - 18 \cdot 27}{27}$

Этап 15.2.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.14.1

Умножим $- 18$ на $27$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 + 338 \sqrt{19} - 486}{27}$

Этап 15.2.14.2

Вычтем $486$ из $430$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 56 + 338 \sqrt{19}}{27}$

Этап 15.2.15

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.15.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- (3 \cdot 10^{2} \sqrt{19}) - 56 + 338 \sqrt{19}}{27}$

Этап 15.2.15.2

Перепишем $- 56$ в виде $- 1 (56)$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- (3 \cdot 10^{2} \sqrt{19}) - 1 \cdot 56 + 338 \sqrt{19}}{27}$

Этап 15.2.15.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 \cdot 10^{2} \sqrt{19}) - 1 (56)$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- (3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 56) + 338 \sqrt{19}}{27}$

Этап 15.2.15.4

Вынесем множитель $- 1$ из $338 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- (3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 56) - (- 338 \sqrt{19})}{27}$

Этап 15.2.15.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 56) - (- 338 \sqrt{19})$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- (3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 56 - 338 \sqrt{19})}{27}$

Этап 15.2.15.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.15.6.1

Перепишем $- (3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 56 - 338 \sqrt{19})$ в виде $- 1 (3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 56 - 338 \sqrt{19})$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 (3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 56 - 338 \sqrt{19})}{27}$

Этап 15.2.15.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 56 - 338 \sqrt{19}}{27}$

Этап 15.2.16

Окончательный ответ: $- \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 56 - 338 \sqrt{19}}{27}$ .

$y = - \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 56 - 338 \sqrt{19}}{27}$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{3} - 10 x^{2} + 27 x - 18$ .

$(\frac{10 + \sqrt{19}}{3}, \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 56 - 338 \sqrt{19}}{27})$ — локальный минимум

$(\frac{10 - \sqrt{19}}{3}, - \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 56 - 338 \sqrt{19}}{27})$ — локальный максимум

Этап 17