Математический анализ Примеры

$f (t) = \frac{t^{2}}{t - 8}$ ; $- 2 \leq t \leq - \frac{1}{4}$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = t^{2}$ и $g (t) = t - 8$ .

$\frac{(t - 8) \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(t - 8) (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2.2

Перенесем $2$ влево от $t - 8$ .

$\frac{2 \cdot (t - 8) t - t^{2} \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2.3

По правилу суммы производная $t - 8$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 8]$ .

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 8])}{{(t - 8)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2} (1 + \frac{d}{d t} [- 8])}{{(t - 8)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2.5

Поскольку $- 8$ является константой относительно $t$ , производная $- 8$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2} (1 + 0)}{{(t - 8)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2} \cdot 1}{{(t - 8)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2.6.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 t + 2 \cdot - 8) t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 t \cdot t + 2 \cdot - 8 t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.3.1.1

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.3.1.1.1

Перенесем $t$ .

$\frac{2 (t \cdot t) + 2 \cdot - 8 t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.3.1.1.2

Умножим $t$ на $t$ .

$\frac{2 t^{2} + 2 \cdot - 8 t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.3.1.2

Умножим $2$ на $- 8$ .

$\frac{2 t^{2} - 16 t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.3.2

Вычтем $t^{2}$ из $2 t^{2}$ .

$\frac{t^{2} - 16 t}{{(t - 8)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.4

Вынесем множитель $t$ из $t^{2} - 16 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.4.1

Вынесем множитель $t$ из $t^{2}$ .

$\frac{t \cdot t - 16 t}{{(t - 8)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.4.2

Вынесем множитель $t$ из $- 16 t$ .

$\frac{t \cdot t + t \cdot - 16}{{(t - 8)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.4.3

Вынесем множитель $t$ из $t \cdot t + t \cdot - 16$ .

$f' (t) = \frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Первая производная $f (t)$ по $t$ равна $\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}}$ .

$\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}}$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}} = 0$

Этап 1.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$t (t - 16) = 0$

Этап 1.2.3

Решим уравнение относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$t = 0$

$t - 16 = 0$

Этап 1.2.3.2

Приравняем $t$ к $0$ .

$t = 0$

Этап 1.2.3.3

Приравняем $t - 16$ к $0$ , затем решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Приравняем $t - 16$ к $0$ .

$t - 16 = 0$

Этап 1.2.3.3.2

Добавим $16$ к обеим частям уравнения.

$t = 16$

Этап 1.2.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $t (t - 16) = 0$ верно.

$t = 0, 16$

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Зададим знаменатель в $\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(t - 8)}^{2} = 0$

Этап 1.3.2

Решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Приравняем $t - 8$ к $0$ .

$t - 8 = 0$

Этап 1.3.2.2

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$t = 8$

Этап 1.4

Вычислим $\frac{t^{2}}{t - 8}$ для каждого значения $t$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем значение в $t = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Подставим $0$ вместо $t$ .

$\frac{{(0)}^{2}}{(0) - 8}$

Этап 1.4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{0 - 8}$

Этап 1.4.1.2.2

Вычтем $8$ из $0$ .

$\frac{0}{- 8}$

Этап 1.4.1.2.3

Разделим $0$ на $- 8$ .

$0$

Этап 1.4.2

Найдем значение в $t = 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Подставим $16$ вместо $t$ .

$\frac{{(16)}^{2}}{(16) - 8}$

Этап 1.4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Возведем $16$ в степень $2$ .

$\frac{256}{16 - 8}$

Этап 1.4.2.2.2

Вычтем $8$ из $16$ .

$\frac{256}{8}$

Этап 1.4.2.2.3

Разделим $256$ на $8$ .

$32$

Этап 1.4.3

Найдем значение в $t = 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Подставим $8$ вместо $t$ .

$\frac{{(8)}^{2}}{(8) - 8}$

Этап 1.4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.1

Вычтем $8$ из $8$ .

$\frac{{(8)}^{2}}{0}$

Этап 1.4.3.2.2

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 1.4.4

Перечислим все точки.

$(0, 0), (16, 32)$

Этап 2

Исключим точки, которые не принадлежат данному интервалу.

Этап 3

Вычислим на включенных конечных точках.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение в $t = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Подставим $- 2$ вместо $t$ .

$\frac{{(- 2)}^{2}}{(- 2) - 8}$

Этап 3.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$\frac{4}{- 2 - 8}$

Этап 3.1.2.1.2

Вычтем $8$ из $- 2$ .

$\frac{4}{- 10}$

Этап 3.1.2.2

Сократим общий множитель $4$ и $- 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 (2)}{- 10}$

Этап 3.1.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 10$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 5}$

Этап 3.1.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 5}$

Этап 3.1.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{- 5}$

Этап 3.1.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{5}$

Этап 3.2

Найдем значение в $t = - \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Подставим $- \frac{1}{4}$ вместо $t$ .

$\frac{{(- \frac{1}{4})}^{2}}{(- \frac{1}{4}) - 8}$

Этап 3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{4}$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{4})}^{2}}{- \frac{1}{4} - 8}$

Этап 3.2.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{1 {(\frac{1}{4})}^{2}}{- \frac{1}{4} - 8}$

Этап 3.2.2.1.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1 \frac{1^{2}}{4^{2}}}{- \frac{1}{4} - 8}$

Этап 3.2.2.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1 \frac{1}{4^{2}}}{- \frac{1}{4} - 8}$

Этап 3.2.2.1.5

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{1 (\frac{1}{16})}{- \frac{1}{4} - 8}$

Этап 3.2.2.1.6

Умножим $\frac{1}{16}$ на $1$ .

$\frac{\frac{1}{16}}{- \frac{1}{4} - 8}$

Этап 3.2.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Чтобы записать $- 8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{16}}{- \frac{1}{4} - 8 \cdot \frac{4}{4}}$

Этап 3.2.2.2.2

Объединим $- 8$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{16}}{- \frac{1}{4} + \frac{- 8 \cdot 4}{4}}$

Этап 3.2.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{1}{16}}{\frac{- 1 - 8 \cdot 4}{4}}$

Этап 3.2.2.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.4.1

Умножим $- 8$ на $4$ .

$\frac{\frac{1}{16}}{\frac{- 1 - 32}{4}}$

Этап 3.2.2.2.4.2

Вычтем $32$ из $- 1$ .

$\frac{\frac{1}{16}}{\frac{- 33}{4}}$

Этап 3.2.2.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\frac{1}{16}}{- \frac{33}{4}}$

Этап 3.2.2.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{16} (- \frac{4}{33})$

Этап 3.2.2.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4}{33}$ в числитель.

$\frac{1}{16} \cdot \frac{- 4}{33}$

Этап 3.2.2.4.2

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$\frac{1}{4 (4)} \cdot \frac{- 4}{33}$

Этап 3.2.2.4.3

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$\frac{1}{4 \cdot 4} \cdot \frac{4 \cdot - 1}{33}$

Этап 3.2.2.4.4

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4 \cdot 4} \cdot \frac{4 \cdot - 1}{33}$

Этап 3.2.2.4.5

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 1}{33}$

Этап 3.2.2.5

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{- 1}{33}$ .

$\frac{- 1}{4 \cdot 33}$

Этап 3.2.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.6.1

Умножим $4$ на $33$ .

$\frac{- 1}{132}$

Этап 3.2.2.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{132}$

Этап 3.3

Перечислим все точки.

$(- 2, - \frac{2}{5}), (- \frac{1}{4}, - \frac{1}{132})$

Этап 4

Сравним значения $f (t)$ , найденные для каждого значения $t$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $f (t)$ , а минимум — при наименьшем значении $f (t)$ .

Абсолютный максимум: $(- \frac{1}{4}, - \frac{1}{132})$

Абсолютный минимум: $(- 2, - \frac{2}{5})$

Этап 5