Математический анализ Примеры

$f (x) = \sin^{2} (x) - \cos (x)$ , and $0 \leq x \leq π$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $\sin^{2} (x) - \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Этап 1.1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Этап 1.1.1.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Этап 1.1.1.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Этап 1.1.1.2.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Этап 1.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.1.1.3.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - - \sin (x)$

Этап 1.1.1.3.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + 1 \sin (x)$

Этап 1.1.1.3.4

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)$

Этап 1.1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.1

Изменим порядок членов.

$2 \cos (x) \sin (x) + \sin (x)$

Этап 1.1.1.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1

Изменим порядок $2 \cos (x)$ и $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x)$

Этап 1.1.1.4.2.2

Изменим порядок $\sin (x)$ и $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) + \sin (x)$

Этап 1.1.1.4.2.3

Применим формулу двойного угла для синуса.

$f' (x) = \sin (2 x) + \sin (x)$

Этап 1.1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\sin (2 x) + \sin (x)$ .

$\sin (2 x) + \sin (x)$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\sin (2 x) + \sin (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\sin (2 x) + \sin (x) = 0$

Этап 1.2.2

Применим формулу двойного угла для синуса.

$2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x) = 0$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) = 0$

Этап 1.2.3.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) = 0$

Этап 1.2.3.3

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin^{1} (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot 1 = 0$

Этап 1.2.3.4

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot 1$ .

$\sin (x) (2 \cos (x) + 1) = 0$

Этап 1.2.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (x) = 0$

$2 \cos (x) + 1 = 0$

Этап 1.2.5

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 1.2.5.2

Решим $\sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 1.2.5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.5.2.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 1.2.5.2.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 1.2.5.2.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 1.2.5.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 1.2.5.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 1.2.5.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 1.2.5.2.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.2.6

Приравняем $2 \cos (x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Приравняем $2 \cos (x) + 1$ к $0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

Этап 1.2.6.2

Решим $2 \cos (x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 \cos (x) = - 1$

Этап 1.2.6.2.2

Разделим каждый член $2 \cos (x) = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.2.1

Разделим каждый член $2 \cos (x) = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 1.2.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 1.2.6.2.2.2.1.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

Этап 1.2.6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Этап 1.2.6.2.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Этап 1.2.6.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.4.1

Точное значение $\arccos (- \frac{1}{2})$ : $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Этап 1.2.6.2.5

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Этап 1.2.6.2.6

Упростим $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.6.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Этап 1.2.6.2.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.6.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Этап 1.2.6.2.6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Этап 1.2.6.2.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.6.3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Этап 1.2.6.2.6.3.2

Вычтем $2 π$ из $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Этап 1.2.6.2.7

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 1.2.6.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 1.2.6.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 1.2.6.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 1.2.6.2.8

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $\sin (x) (2 \cos (x) + 1) = 0$ верно.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.2.8

Объединим $2 π n$ и $π + 2 π n$ в $π n$ .

$x = π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 1.4

Вычислим $\sin^{2} (x) - \cos (x)$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$\sin^{2} (0) - \cos (0)$

Этап 1.4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$0^{2} - \cos (0)$

Этап 1.4.1.2.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - \cos (0)$

Этап 1.4.1.2.1.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Этап 1.4.1.2.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 - 1$

Этап 1.4.1.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$- 1$

Этап 1.4.2

Найдем значение в $x = π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Подставим $π$ вместо $x$ .

$\sin^{2} (π) - \cos (π)$

Этап 1.4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\sin^{2} (0) - \cos (π)$

Этап 1.4.2.2.1.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$0^{2} - \cos (π)$

Этап 1.4.2.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - \cos (π)$

Этап 1.4.2.2.1.4

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$0 - - \cos (0)$

Этап 1.4.2.2.1.5

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$0 - (- 1 \cdot 1)$

Этап 1.4.2.2.1.6

Умножим $- (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.6.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 - - 1$

Этап 1.4.2.2.1.6.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$0 + 1$

Этап 1.4.2.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 1.4.3

Найдем значение в $x = \frac{2 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Подставим $\frac{2 π}{3}$ вместо $x$ .

$\sin^{2} (\frac{2 π}{3}) - \cos (\frac{2 π}{3})$

Этап 1.4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\sin^{2} (\frac{π}{3}) - \cos (\frac{2 π}{3})$

Этап 1.4.3.2.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - \cos (\frac{2 π}{3})$

Этап 1.4.3.2.1.3

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} - \cos (\frac{2 π}{3})$

Этап 1.4.3.2.1.4

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - \cos (\frac{2 π}{3})$

Этап 1.4.3.2.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - \cos (\frac{2 π}{3})$

Этап 1.4.3.2.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - \cos (\frac{2 π}{3})$

Этап 1.4.3.2.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - \cos (\frac{2 π}{3})$

Этап 1.4.3.2.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3^{1}}{2^{2}} - \cos (\frac{2 π}{3})$

Этап 1.4.3.2.1.4.5

Найдем экспоненту.

$\frac{3}{2^{2}} - \cos (\frac{2 π}{3})$

Этап 1.4.3.2.1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{3}{4} - \cos (\frac{2 π}{3})$

Этап 1.4.3.2.1.6

$\frac{3}{4} - - \cos (\frac{π}{3})$

Этап 1.4.3.2.1.7

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{4} - - \frac{1}{2}$

Этап 1.4.3.2.1.8

Умножим $- - \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.1.8.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{3}{4} + 1 (\frac{1}{2})$

Этап 1.4.3.2.1.8.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{3}{4} + \frac{1}{2}$

Этап 1.4.3.2.2

Чтобы записать $\frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 1.4.3.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.3.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}$

Этап 1.4.3.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{3}{4} + \frac{2}{4}$

Этап 1.4.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 + 2}{4}$

Этап 1.4.3.2.5

Добавим $3$ и $2$ .

$\frac{5}{4}$

Этап 1.4.4

Перечислим все точки.

$(0 + 2 π n, - 1), (π + 2 π n, 1), (\frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{5}{4})$ , для любого целого $n$

Этап 2

Исключим точки, которые не принадлежат данному интервалу.

$(0, - 1), (π, 1), (\frac{2 π}{3}, \frac{5}{4})$

Этап 3

Вычислим на включенных конечных точках.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$\sin^{2} (0) - \cos (0)$

Этап 3.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$0^{2} - \cos (0)$

Этап 3.1.2.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - \cos (0)$

Этап 3.1.2.1.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Этап 3.1.2.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 - 1$

Этап 3.1.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$- 1$

Этап 3.2

Найдем значение в $x = π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Подставим $π$ вместо $x$ .

$\sin^{2} (π) - \cos (π)$

Этап 3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\sin^{2} (0) - \cos (π)$

Этап 3.2.2.1.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$0^{2} - \cos (π)$

Этап 3.2.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - \cos (π)$

Этап 3.2.2.1.4

$0 - - \cos (0)$

Этап 3.2.2.1.5

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$0 - (- 1 \cdot 1)$

Этап 3.2.2.1.6

Умножим $- (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.6.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 - - 1$

Этап 3.2.2.1.6.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$0 + 1$

Этап 3.2.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 3.3

Перечислим все точки.

$(0, - 1), (π, 1)$

Этап 4

Сравним значения $f (x)$ , найденные для каждого значения $x$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $f (x)$ , а минимум — при наименьшем значении $f (x)$ .

Абсолютный максимум: $(\frac{2 π}{3}, \frac{5}{4})$

Абсолютный минимум: $(0, - 1)$

Этап 5