Математический анализ Примеры

$- x^{3} + 3 x^{2} - 6$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $- x^{3} + 3 x^{2} - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 1.2.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $3$ .

$- 3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 3 x^{2} + 6 x + 0$

Этап 1.4.2

Добавим $- 3 x^{2} + 6 x$ и $0$ .

$- 3 x^{2} + 6 x$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 3 x^{2} + 6 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{2}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (6 x)$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (6 x)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 x + 6 \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 6 \cdot 1$

Этап 2.3.3

Умножим $6$ на $1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 6$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 3 x^{2} + 6 x = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $- x^{3} + 3 x^{2} - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $2$ на $3$ .

$- 3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 3 x^{2} + 6 x + 0$

Этап 4.1.4.2

Добавим $- 3 x^{2} + 6 x$ и $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 6 x$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 3 x^{2} + 6 x$ .

$- 3 x^{2} + 6 x$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 3 x^{2} + 6 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 3 x^{2} + 6 x = 0$

Этап 5.2

Вынесем множитель $- 3 x$ из $- 3 x^{2} + 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $- 3 x$ из $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x \cdot x + 6 x = 0$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $- 3 x$ из $6 x$ .

$- 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 2 = 0$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $- 3 x$ из $- 3 x (x) - 3 x (- 2)$ .

$- 3 x (x - 2) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 5.5

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 5.5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 3 x (x - 2) = 0$ верно.

$x = 0, 2$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, 2$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 6 \cdot 0 + 6$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $- 6$ на $0$ .

$0 + 6$

Этап 9.2

Добавим $0$ и $6$ .

$6$

Этап 10

$x = 0$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = - {(0)}^{3} + 3 {(0)}^{2} - 6$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = - 0 + 3 {(0)}^{2} - 6$

Этап 11.2.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 3 {(0)}^{2} - 6$

Этап 11.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + 3 \cdot 0 - 6$

Этап 11.2.1.4

Умножим $3$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 6$

Этап 11.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 - 6$

Этап 11.2.2.2

Вычтем $6$ из $0$ .

$f (0) = - 6$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $- 6$ .

$y = - 6$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = 2$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 6 \cdot 2 + 6$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $- 6$ на $2$ .

$- 12 + 6$

Этап 13.2

Добавим $- 12$ и $6$ .

$- 6$

Этап 14

$x = 2$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 2$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = - {(2)}^{3} + 3 {(2)}^{2} - 6$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (2) = - 1 \cdot 8 + 3 {(2)}^{2} - 6$

Этап 15.2.1.2

Умножим $- 1$ на $8$ .

$f (2) = - 8 + 3 {(2)}^{2} - 6$

Этап 15.2.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (2) = - 8 + 3 \cdot 4 - 6$

Этап 15.2.1.4

Умножим $3$ на $4$ .

$f (2) = - 8 + 12 - 6$

Этап 15.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Добавим $- 8$ и $12$ .

$f (2) = 4 - 6$

Этап 15.2.2.2

Вычтем $6$ из $4$ .

$f (2) = - 2$

Этап 15.2.3

Окончательный ответ: $- 2$ .

$y = - 2$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = - x^{3} + 3 x^{2} - 6$ .

$(0, - 6)$ — локальный минимум

$(2, - 2)$ — локальный максимум

Этап 17