Математический анализ Примеры

$f (x) = \sin (\frac{x}{2})$ , $[0, 4 π]$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Этап 1.1.1.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Этап 1.1.1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.1.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\cos (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

Этап 1.1.1.2.4

Умножим $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Этап 1.1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = 0$

Этап 1.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$\cos (\frac{x}{2}) = 0$

Этап 1.2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$\frac{x}{2} = \arccos (0)$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

Этап 1.2.3.3

Поскольку выражения в каждой части уравнения имеют одинаковые знаменатели, числители должны быть равны.

$x = π$

Этап 1.2.3.4

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 1.2.3.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.5.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Этап 1.2.3.5.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.5.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.5.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Этап 1.2.3.5.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Этап 1.2.3.5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.5.2.2.1

Упростим $2 (2 π - \frac{π}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.5.2.2.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Этап 1.2.3.5.2.2.1.2

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Этап 1.2.3.5.2.2.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 1.2.3.5.2.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.5.2.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 1.2.3.5.2.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 π \cdot 2 - π$

Этап 1.2.3.5.2.2.1.5

Умножим $2$ на $2$ .

$x = 4 π - π$

Этап 1.2.3.5.2.2.1.6

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = 3 π$

Этап 1.2.3.6

Найдем период $\cos (\frac{x}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 1.2.3.6.2

Заменим $b$ на $\frac{1}{2}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Этап 1.2.3.6.3

$\frac{1}{2}$ приблизительно равно $0.5$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Этап 1.2.3.6.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \cdot 2$

Этап 1.2.3.6.5

Умножим $2$ на $2$ .

$4 π$

Этап 1.2.3.7

Период функции $\cos (\frac{x}{2})$ равен $4 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $4 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π + 4 π n, 3 π + 4 π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.2.4

Объединим ответы.

$x = π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 1.4

Вычислим $\sin (\frac{x}{2})$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем значение в $x = π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Подставим $π$ вместо $x$ .

$\sin (\frac{π}{2})$

Этап 1.4.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$1$

Этап 1.4.2

Найдем значение в $x = 3 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Подставим $3 π$ вместо $x$ .

$\sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 1.4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$- \sin (\frac{π}{2})$

Этап 1.4.2.2.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 1.4.2.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 1.4.3

Перечислим все точки.

$(π + 4 π n, 1), (3 π + 4 π n, - 1)$ , для любого целого $n$

Этап 2

Исключим точки, которые не принадлежат данному интервалу.

$(π, 1), (3 π, - 1)$

Этап 3

Вычислим на включенных конечных точках.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$\sin (\frac{0}{2})$

Этап 3.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разделим $0$ на $2$ .

$\sin (0)$

Этап 3.1.2.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$0$

Этап 3.2

Найдем значение в $x = 4 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Подставим $4 π$ вместо $x$ .

$\sin (\frac{4 π}{2})$

Этап 3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4 π$ .

$\sin (\frac{2 (2 π)}{2})$

Этап 3.2.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\sin (\frac{2 (2 π)}{2 (1)})$

Этап 3.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\sin (\frac{2 (2 π)}{2 \cdot 1})$

Этап 3.2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\sin (\frac{2 π}{1})$

Этап 3.2.2.1.2.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$\sin (2 π)$

Этап 3.2.2.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\sin (0)$

Этап 3.2.2.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$0$

Этап 3.3

Перечислим все точки.

$(0, 0), (4 π, 0)$

Этап 4

Сравним значения $f (x)$ , найденные для каждого значения $x$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $f (x)$ , а минимум — при наименьшем значении $f (x)$ .

Абсолютный максимум: $(π, 1)$

Абсолютный минимум: $(3 π, - 1)$

Этап 5