Математический анализ Примеры

$f (x) = | x |$ , given $- 8 \leq x \leq 7$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Производная $| x |$ по $x$ равна $\frac{x}{| x |}$ .

$f' (x) = \frac{x}{| x |}$

Этап 1.1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{x}{| x |}$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{x}{| x |} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{x}{| x |} = 0$

Этап 1.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$x = 0$

Этап 1.2.3

Исключим решения, которые не делают $\frac{x}{| x |} = 0$ истинным.

$Нет решения$

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Зададим знаменатель в $\frac{x}{| x |}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$| x | = 0$

Этап 1.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x = \pm 0$

Этап 1.3.2.2

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 1.4

Вычислим $| x |$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$| 0 |$

Этап 1.4.1.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $0$ равно $0$ .

$0$

Этап 1.4.2

Перечислим все точки.

$(0, 0)$

Этап 2

Вычислим на включенных конечных точках.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение в $x = - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Подставим $- 8$ вместо $x$ .

$| - 8 |$

Этап 2.1.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 8$ и $0$ равно $8$ .

$8$

Этап 2.2

Найдем значение в $x = 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Подставим $7$ вместо $x$ .

$| 7 |$

Этап 2.2.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $7$ равно $7$ .

$7$

Этап 2.3

Перечислим все точки.

$(- 8, 8), (7, 7)$

Этап 3

Сравним значения $f (x)$ , найденные для каждого значения $x$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $f (x)$ , а минимум — при наименьшем значении $f (x)$ .

Абсолютный максимум: $(- 8, 8)$

Абсолютный минимум: $(0, 0)$

Этап 4