Математический анализ Примеры

$3 x^{4} + 8 x^{3} + 4$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $3 x^{4} + 8 x^{3} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{4}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2.3

Умножим $4$ на $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x^{3}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$12 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.3.3

Умножим $3$ на $8$ .

$12 x^{3} + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$12 x^{3} + 24 x^{2} + 0$

Этап 1.4.2

Добавим $12 x^{3} + 24 x^{2}$ и $0$ .

$12 x^{3} + 24 x^{2}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $12 x^{3} + 24 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{3}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2})$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2})$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x^{2})$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $24$ является константой относительно $x$ , производная $24 x^{2}$ по $x$ равна $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 (2 x)$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $24$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 48 x$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$12 x^{3} + 24 x^{2} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $3 x^{4} + 8 x^{3} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{4}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $4$ на $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x^{3}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$12 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $3$ на $8$ .

$12 x^{3} + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$12 x^{3} + 24 x^{2} + 0$

Этап 4.1.4.2

Добавим $12 x^{3} + 24 x^{2}$ и $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 24 x^{2}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $12 x^{3} + 24 x^{2}$ .

$12 x^{3} + 24 x^{2}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $12 x^{3} + 24 x^{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$12 x^{3} + 24 x^{2} = 0$

Этап 5.2

Вынесем множитель $12 x^{2}$ из $12 x^{3} + 24 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $12 x^{2}$ из $12 x^{3}$ .

$12 x^{2} (x) + 24 x^{2} = 0$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $12 x^{2}$ из $24 x^{2}$ .

$12 x^{2} (x) + 12 x^{2} (2) = 0$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $12 x^{2}$ из $12 x^{2} (x) + 12 x^{2} (2)$ .

$12 x^{2} (x + 2) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 5.4.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 5.4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 5.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 5.4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 5.5

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 5.5.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $12 x^{2} (x + 2) = 0$ верно.

$x = 0, - 2$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, - 2$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$36 {(0)}^{2} + 48 (0)$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$36 \cdot 0 + 48 (0)$

Этап 9.1.2

Умножим $36$ на $0$ .

$0 + 48 (0)$

Этап 9.1.3

Умножим $48$ на $0$ .

$0 + 0$

Этап 9.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 10

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 10.2

Подставим любое число такое, что $- 4$ , из интервала $(- \infty, - 2)$ в первую производную $12 x^{3} + 24 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f' (- 4) = 12 {(- 4)}^{3} + 24 {(- 4)}^{2}$

Этап 10.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.1

Возведем $- 4$ в степень $3$ .

$f' (- 4) = 12 \cdot - 64 + 24 {(- 4)}^{2}$

Этап 10.2.2.1.2

Умножим $12$ на $- 64$ .

$f' (- 4) = - 768 + 24 {(- 4)}^{2}$

Этап 10.2.2.1.3

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$f' (- 4) = - 768 + 24 \cdot 16$

Этап 10.2.2.1.4

Умножим $24$ на $16$ .

$f' (- 4) = - 768 + 384$

Этап 10.2.2.2

Добавим $- 768$ и $384$ .

$f' (- 4) = - 384$

Этап 10.2.2.3

Окончательный ответ: $- 384$ .

$- 384$

Этап 10.3

Подставим любое число такое, что $- 1$ , из интервала $(- 2, 0)$ в первую производную $12 x^{3} + 24 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = 12 {(- 1)}^{3} + 24 {(- 1)}^{2}$

Этап 10.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f' (- 1) = 12 \cdot - 1 + 24 {(- 1)}^{2}$

Этап 10.3.2.1.2

Умножим $12$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = - 12 + 24 {(- 1)}^{2}$

Этап 10.3.2.1.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (- 1) = - 12 + 24 \cdot 1$

Этап 10.3.2.1.4

Умножим $24$ на $1$ .

$f' (- 1) = - 12 + 24$

Этап 10.3.2.2

Добавим $- 12$ и $24$ .

$f' (- 1) = 12$

Этап 10.3.2.3

Окончательный ответ: $12$ .

$12$

Этап 10.4

Подставим любое число такое, что $2$ , из интервала $(0, \infty)$ в первую производную $12 x^{3} + 24 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = 12 {(2)}^{3} + 24 {(2)}^{2}$

Этап 10.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f' (2) = 12 \cdot 8 + 24 {(2)}^{2}$

Этап 10.4.2.1.2

Умножим $12$ на $8$ .

$f' (2) = 96 + 24 {(2)}^{2}$

Этап 10.4.2.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (2) = 96 + 24 \cdot 4$

Этап 10.4.2.1.4

Умножим $24$ на $4$ .

$f' (2) = 96 + 96$

Этап 10.4.2.2

Добавим $96$ и $96$ .

$f' (2) = 192$

Этап 10.4.2.3

Окончательный ответ: $192$ .

$192$

Этап 10.5

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = - 2$ , $x = - 2$ — локальный минимум.

$x = - 2$ — локальный минимум

Этап 10.6

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = 0$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 10.7

Это локальные экстремумы $f (x) = 3 x^{4} + 8 x^{3} + 4$ .

$x = - 2$ — локальный минимум

Этап 11