Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{x + 3}$ , $0 \leq x \leq 5$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 3}$ в виде ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 3]$

Этап 1.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Этап 1.1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 3$ .

$\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Этап 1.1.1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Этап 1.1.1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Этап 1.1.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Этап 1.1.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Этап 1.1.1.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Этап 1.1.1.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Этап 1.1.1.7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Этап 1.1.1.7.3

Перенесем ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Этап 1.1.1.8

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 1.1.1.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 1.1.1.10

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)$

Этап 1.1.1.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.11.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Этап 1.1.1.11.2

Умножим $\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 1.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$1 = 0$

Этап 1.2.3

Поскольку $1 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{1}{2 \sqrt{{(x + 3)}^{1}}}$

Этап 1.3.1.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$\frac{1}{2 \sqrt{x + 3}}$

Этап 1.3.2

Зададим знаменатель в $\frac{1}{2 \sqrt{x + 3}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 \sqrt{x + 3} = 0$

Этап 1.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(2 \sqrt{x + 3})}^{2} = 0^{2}$

Этап 1.3.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 3}$ в виде ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 1.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.2.1

Упростим ${(2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.2.1.1

Применим правило умножения к $2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 1.3.3.2.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 1.3.3.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 1.3.3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 1.3.3.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 {(x + 3)}^{1} = 0^{2}$

Этап 1.3.3.2.2.1.4

Упростим.

$4 (x + 3) = 0^{2}$

Этап 1.3.3.2.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 4 \cdot 3 = 0^{2}$

Этап 1.3.3.2.2.1.6

Умножим $4$ на $3$ .

$4 x + 12 = 0^{2}$

Этап 1.3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$4 x + 12 = 0$

Этап 1.3.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.1

Вычтем $12$ из обеих частей уравнения.

$4 x = - 12$

Этап 1.3.3.3.2

Разделим каждый член $4 x = - 12$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.2.1

Разделим каждый член $4 x = - 12$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 12}{4}$

Этап 1.3.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 12}{4}$

Этап 1.3.3.3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 12}{4}$

Этап 1.3.3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.2.3.1

Разделим $- 12$ на $4$ .

$x = - 3$

Этап 1.3.4

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x + 3}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x + 3 < 0$

Этап 1.3.5

Вычтем $3$ из обеих частей неравенства.

$x < - 3$

Этап 1.3.6

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

Этап 1.4

Вычислим $\sqrt{x + 3}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем значение в $x = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Подставим $- 3$ вместо $x$ .

$\sqrt{(- 3) + 3}$

Этап 1.4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Добавим $- 3$ и $3$ .

$\sqrt{0}$

Этап 1.4.1.2.2

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}}$

Этап 1.4.1.2.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$0$

Этап 1.4.2

Перечислим все точки.

$(- 3, 0)$

Этап 2

Исключим точки, которые не принадлежат данному интервалу.

Этап 3

Вычислим на включенных конечных точках.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$\sqrt{(0) + 3}$

Этап 3.1.2

Добавим $0$ и $3$ .

$\sqrt{3}$

Этап 3.2

Найдем значение в $x = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Подставим $5$ вместо $x$ .

$\sqrt{(5) + 3}$

Этап 3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Добавим $5$ и $3$ .

$\sqrt{8}$

Этап 3.2.2.2

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\sqrt{4 (2)}$

Этап 3.2.2.2.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Этап 3.2.2.3

Вынесем члены из-под знака корня.

$2 \sqrt{2}$

Этап 3.3

Перечислим все точки.

$(0, \sqrt{3}), (5, 2 \sqrt{2})$

Этап 4

Сравним значения $f (x)$ , найденные для каждого значения $x$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $f (x)$ , а минимум — при наименьшем значении $f (x)$ .

Абсолютный максимум: $(5, 2 \sqrt{2})$

Абсолютный минимум: $(0, \sqrt{3})$

Этап 5