Математический анализ Примеры

$f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ , $[0, 2 π]$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $\sin (x) + \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.1.1.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.1.1.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$f' (x) = \cos (x) - \sin (x)$

Этап 1.1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\cos (x) - \sin (x)$ .

$\cos (x) - \sin (x)$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\cos (x) - \sin (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член уравнения на $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 1.2.3

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 1.2.3.2

Перепишем это выражение.

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 1.2.4

Разделим дроби.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 1.2.5

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 1.2.6

Разделим $- 1$ на $1$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 1.2.7

Разделим дроби.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 1.2.8

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Этап 1.2.9

Разделим $0$ на $1$ .

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Этап 1.2.10

Умножим $0$ на $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = 0$

Этап 1.2.11

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \tan (x) = - 1$

Этап 1.2.12

Разделим каждый член $- \tan (x) = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.12.1

Разделим каждый член $- \tan (x) = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 1.2.12.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.12.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 1.2.12.2.2

Разделим $\tan (x)$ на $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 1.2.12.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.12.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Этап 1.2.13

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (1)$

Этап 1.2.14

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.14.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 1.2.15

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + \frac{π}{4}$

Этап 1.2.16

Упростим $π + \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.16.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 1.2.16.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.16.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 1.2.16.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 1.2.16.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.16.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Этап 1.2.16.3.2

Добавим $4 π$ и $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Этап 1.2.17

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.17.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 1.2.17.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 1.2.17.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 1.2.17.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 1.2.18

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 1.4

Вычислим $\sin (x) + \cos (x)$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем значение в $x = \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Подставим $\frac{π}{4}$ вместо $x$ .

$\sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{4})$

Этап 1.4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

Этап 1.4.1.2.1.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 1.4.1.2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Этап 1.4.1.2.2.2

Добавим $\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 1.4.1.2.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 1.4.1.2.2.3.2

Разделим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$\sqrt{2}$

Этап 1.4.2

Найдем значение в $x = \frac{5 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Подставим $\frac{5 π}{4}$ вместо $x$ .

$\sin (\frac{5 π}{4}) + \cos (\frac{5 π}{4})$

Этап 1.4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в третьем квадранте.

$- \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{5 π}{4})$

Этап 1.4.2.2.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{5 π}{4})$

Этап 1.4.2.2.1.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный в третьем квадранте.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Этап 1.4.2.2.1.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 1.4.2.2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Этап 1.4.2.2.2.2

Вычтем $\sqrt{2}$ из $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 1.4.2.2.2.3

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Этап 1.4.2.2.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Этап 1.4.2.2.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.2.2.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- \sqrt{2}}{1}$

Этап 1.4.2.2.2.3.2.4

Разделим $- \sqrt{2}$ на $1$ .

$- \sqrt{2}$

Этап 1.4.3

Перечислим все точки.

$(\frac{π}{4} + 2 π n, \sqrt{2}), (\frac{5 π}{4} + 2 π n, - \sqrt{2})$ , для любого целого $n$

Этап 2

Исключим точки, которые не принадлежат данному интервалу.

$(\frac{π}{4}, \sqrt{2}), (\frac{5 π}{4}, - \sqrt{2})$

Этап 3

Вычислим на включенных конечных точках.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$\sin (0) + \cos (0)$

Этап 3.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$0 + \cos (0)$

Этап 3.1.2.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$0 + 1$

Этап 3.1.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 3.2

Найдем значение в $x = 2 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Подставим $2 π$ вместо $x$ .

$\sin (2 π) + \cos (2 π)$

Этап 3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\sin (0) + \cos (2 π)$

Этап 3.2.2.1.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$0 + \cos (2 π)$

Этап 3.2.2.1.3

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$0 + \cos (0)$

Этап 3.2.2.1.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$0 + 1$

Этап 3.2.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 3.3

Перечислим все точки.

$(0, 1), (2 π, 1)$

Этап 4

Сравним значения $f (x)$ , найденные для каждого значения $x$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $f (x)$ , а минимум — при наименьшем значении $f (x)$ .

Абсолютный максимум: $(\frac{π}{4}, \sqrt{2})$

Абсолютный минимум: $(\frac{5 π}{4}, - \sqrt{2})$

Этап 5