Математический анализ Примеры

$h (x) = \sqrt[3]{x}$ , $- 8 \leq x \leq 1$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}$

Этап 1.1.1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Этап 1.1.1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Этап 1.1.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

Этап 1.1.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}$

Этап 1.1.1.6.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}$

Этап 1.1.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}$

Этап 1.1.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.8.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.1.8.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.2

Первая производная $h (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Этап 1.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$1 = 0$

Этап 1.2.3

Поскольку $1 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

Этап 1.3.2

Зададим знаменатель в $\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$3 \sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Этап 1.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${(3 \sqrt[3]{x^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 1.3.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x^{2}}$ в виде $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 1.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.2.1

Упростим ${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.2.1.1

Применим правило умножения к $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 1.3.3.2.2.1.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 1.3.3.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 1.3.3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 1.3.3.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$27 x^{2} = 0^{3}$

Этап 1.3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$27 x^{2} = 0$

Этап 1.3.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.1

Разделим каждый член $27 x^{2} = 0$ на $27$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.1.1

Разделим каждый член $27 x^{2} = 0$ на $27$ .

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Этап 1.3.3.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.1.2.1

Сократим общий множитель $27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Этап 1.3.3.3.1.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{27}$

Этап 1.3.3.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.1.3.1

Разделим $0$ на $27$ .

$x^{2} = 0$

Этап 1.3.3.3.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 1.3.3.3.3

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.3.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 1.3.3.3.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 1.3.3.3.3.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 1.4

Вычислим $\sqrt[3]{x}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$\sqrt[3]{0}$

Этап 1.4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Избавимся от скобок.

$\sqrt[3]{0}$

Этап 1.4.1.2.2

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$\sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 1.4.1.2.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$0$

Этап 1.4.2

Перечислим все точки.

$(0, 0)$

Этап 2

Вычислим на включенных конечных точках.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение в $x = - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Подставим $- 8$ вместо $x$ .

$\sqrt[3]{- 8}$

Этап 2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Избавимся от скобок.

$\sqrt[3]{- 8}$

Этап 2.1.2.2

Перепишем $- 8$ в виде ${(- 2)}^{3}$ .

$\sqrt[3]{{(- 2)}^{3}}$

Этап 2.1.2.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$- 2$

Этап 2.2

Найдем значение в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$\sqrt[3]{1}$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Избавимся от скобок.

$\sqrt[3]{1}$

Этап 2.2.2.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$1$

Этап 2.3

Перечислим все точки.

$(- 8, - 2), (1, 1)$

Этап 3

Сравним значения $h (x)$ , найденные для каждого значения $x$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $h (x)$ , а минимум — при наименьшем значении $h (x)$ .

Абсолютный максимум: $(1, 1)$

Абсолютный минимум: $(- 8, - 2)$

Этап 4