Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ , $[- \frac{1}{2}, 4]$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} - 3 x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{2}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.1.2.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{2} - 6 x + 0$

Этап 1.1.1.3.2

Добавим $3 x^{2} - 6 x$ и $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x$

Этап 1.1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $3 x^{2} - 6 x$ .

$3 x^{2} - 6 x$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 x^{2} - 6 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$3 x^{2} - 6 x = 0$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x^{2} - 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x^{2}$ .

$3 x (x) - 6 x = 0$

Этап 1.2.2.2

Вынесем множитель $3 x$ из $- 6 x$ .

$3 x (x) + 3 x (- 2) = 0$

Этап 1.2.2.3

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x (x) + 3 x (- 2)$ .

$3 x (x - 2) = 0$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 1.2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.5

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 1.2.5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 1.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $3 x (x - 2) = 0$ верно.

$x = 0, 2$

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 1.4

Вычислим $x^{3} - 3 x^{2} + 1$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

${(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} + 1$

Этап 1.4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - 3 {(0)}^{2} + 1$

Этап 1.4.1.2.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - 3 \cdot 0 + 1$

Этап 1.4.1.2.1.3

Умножим $- 3$ на $0$ .

$0 + 0 + 1$

Этап 1.4.1.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 1$

Этап 1.4.1.2.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 1.4.2

Найдем значение в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

${(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2} + 1$

Этап 1.4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$8 - 3 {(2)}^{2} + 1$

Этап 1.4.2.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$8 - 3 \cdot 4 + 1$

Этап 1.4.2.2.1.3

Умножим $- 3$ на $4$ .

$8 - 12 + 1$

Этап 1.4.2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.2.1

Вычтем $12$ из $8$ .

$- 4 + 1$

Этап 1.4.2.2.2.2

Добавим $- 4$ и $1$ .

$- 3$

Этап 1.4.3

Перечислим все точки.

$(0, 1), (2, - 3)$

Этап 2

Вычислим на включенных конечных точках.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение в $x = - \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Подставим $- \frac{1}{2}$ вместо $x$ .

${(- \frac{1}{2})}^{3} - 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1$

Этап 2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

${(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3} - 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1$

Этап 2.1.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

${(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{2^{3}} - 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1$

Этап 2.1.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- \frac{1^{3}}{2^{3}} - 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1$

Этап 2.1.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{1}{2^{3}} - 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1$

Этап 2.1.2.1.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$- \frac{1}{8} - 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1$

Этап 2.1.2.1.5

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.5.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{8} - 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 1$

Этап 2.1.2.1.5.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{8} - 3 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) + 1$

Этап 2.1.2.1.6

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- \frac{1}{8} - 3 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) + 1$

Этап 2.1.2.1.7

Умножим $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$- \frac{1}{8} - 3 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 1$

Этап 2.1.2.1.8

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{1}{8} - 3 \frac{1}{2^{2}} + 1$

Этап 2.1.2.1.9

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- \frac{1}{8} - 3 (\frac{1}{4}) + 1$

Этап 2.1.2.1.10

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{- 3}{4} + 1$

Этап 2.1.2.1.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{8} - \frac{3}{4} + 1$

Этап 2.1.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Умножим $\frac{3}{4}$ на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{8} - (\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{2}) + 1$

Этап 2.1.2.2.2

Умножим $\frac{3}{4}$ на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{8} - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + 1$

Этап 2.1.2.2.3

Запишем $1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$- \frac{1}{8} - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{1}{1}$

Этап 2.1.2.2.4

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{8}{8}$ .

$- \frac{1}{8} - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{1}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Этап 2.1.2.2.5

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{8}{8}$ .

$- \frac{1}{8} - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{8}{8}$

Этап 2.1.2.2.6

Изменим порядок множителей в $4 \cdot 2$ .

$- \frac{1}{8} - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{8}{8}$

Этап 2.1.2.2.7

Умножим $2$ на $4$ .

$- \frac{1}{8} - \frac{3 \cdot 2}{8} + \frac{8}{8}$

Этап 2.1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 1 - 3 \cdot 2 + 8}{8}$

Этап 2.1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.1

Умножим $- 3$ на $2$ .

$\frac{- 1 - 6 + 8}{8}$

Этап 2.1.2.4.2

Вычтем $6$ из $- 1$ .

$\frac{- 7 + 8}{8}$

Этап 2.1.2.4.3

Добавим $- 7$ и $8$ .

$\frac{1}{8}$

Этап 2.2

Найдем значение в $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Подставим $4$ вместо $x$ .

${(4)}^{3} - 3 {(4)}^{2} + 1$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Возведем $4$ в степень $3$ .

$64 - 3 {(4)}^{2} + 1$

Этап 2.2.2.1.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$64 - 3 \cdot 16 + 1$

Этап 2.2.2.1.3

Умножим $- 3$ на $16$ .

$64 - 48 + 1$

Этап 2.2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Вычтем $48$ из $64$ .

$16 + 1$

Этап 2.2.2.2.2

Добавим $16$ и $1$ .

$17$

Этап 2.3

Перечислим все точки.

$(- \frac{1}{2}, \frac{1}{8}), (4, 17)$

Этап 3

Сравним значения $f (x)$ , найденные для каждого значения $x$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $f (x)$ , а минимум — при наименьшем значении $f (x)$ .

Абсолютный максимум: $(4, 17)$

Абсолютный минимум: $(2, - 3)$

Этап 4