Математический анализ Примеры

$g (x) = \frac{x^{2} + 4}{4 x}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $\frac{1}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x^{2} + 4}{4 x}$ по $x$ равна $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 4}{x}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 4}{x}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2} + 4$ и $g (x) = x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 4] - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.3.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.3.4

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (2 x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.7

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4) \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 1.9

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{x^{2}}$

Этап 1.9.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{x^{2}}$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{4 x^{2}}$

Этап 1.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 4}{4 x^{2}}$

Этап 1.10.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 4}{4 x^{2}}$

Этап 1.10.2.2

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4}{4 x^{2}}$

Этап 1.10.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 2^{2}}{4 x^{2}}$

Этап 1.10.3.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\frac{1}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}}$ по $x$ равна $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}}]$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}})$

Этап 2.2

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 2) (x - 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Этап 2.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 2) (x - 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Этап 2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 2) (x - 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x + 2$ и $g (x) = x - 2$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} ((x + 2) \frac{d}{d x} (x - 2) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} ((x + 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} ((x + 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.5.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} ((x + 2) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.5.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} ((x + 2) \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.5.4.2

Умножим $x + 2$ на $1$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.5.5

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2))) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.5.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (2))) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.5.7

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + (x - 2) (1 + 0)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.5.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.8.1

Добавим $1$ и $0$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + (x - 2) \cdot 1) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.5.8.2

Умножим $x - 2$ на $1$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + x - 2) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.5.8.3

Добавим $x$ и $x$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (2 x + 2 - 2) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.5.8.4

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.8.4.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (2 x + 0) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.5.8.4.2

Добавим $2 x$ и $0$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (2 x) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.6

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Перенесем $x$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.6.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.6.3

Добавим $1$ и $2$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{3} \cdot 2 - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.7

Перенесем $2$ влево от $x^{3}$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{2 \cdot x^{3} - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{3} - (x + 2) (x - 2) (2 x)}{x^{4}}$

Этап 2.9

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{3} - 2 (x + 2) (x - 2) x}{x^{4}}$

Этап 2.9.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{2 x^{3} - 2 (x + 2) (x - 2) x}{x^{4}}$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x + 2) (x - 2) x}{4 x^{4}}$

Этап 2.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x - 2 \cdot 2) (x - 2) x}{4 x^{4}}$

Этап 2.10.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.1.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x - 4) (x - 2) x}{4 x^{4}}$

Этап 2.10.2.1.2

Развернем $(- 2 x - 4) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x (x - 2) - 4 (x - 2)) x}{4 x^{4}}$

Этап 2.10.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2 - 4 (x - 2)) x}{4 x^{4}}$

Этап 2.10.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2 - 4 x - 4 \cdot - 2) x}{4 x^{4}}$

Этап 2.10.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.1.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 2 - 4 x - 4 \cdot - 2) x}{4 x^{4}}$

Этап 2.10.2.1.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 2 - 4 x - 4 \cdot - 2) x}{4 x^{4}}$

Этап 2.10.2.1.3.1.2

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 4 x - 4 x - 4 \cdot - 2) x}{4 x^{4}}$

Этап 2.10.2.1.3.1.3

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 4 x - 4 x + 8) x}{4 x^{4}}$

Этап 2.10.2.1.3.2

Вычтем $4 x$ из $4 x$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 0 + 8) x}{4 x^{4}}$

Этап 2.10.2.1.3.3

Добавим $- 2 x^{2}$ и $0$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 8) x}{4 x^{4}}$

Этап 2.10.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x + 8 x}{4 x^{4}}$

Этап 2.10.2.1.5

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.1.5.1

Перенесем $x$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 8 x}{4 x^{4}}$

Этап 2.10.2.1.5.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.1.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 8 x}{4 x^{4}}$

Этап 2.10.2.1.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} + 8 x}{4 x^{4}}$

Этап 2.10.2.1.5.3

Добавим $1$ и $2$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{3} + 8 x}{4 x^{4}}$

Этап 2.10.2.2

Вычтем $2 x^{3}$ из $2 x^{3}$ .

$g'' (x) = \frac{0 + 8 x}{4 x^{4}}$

Этап 2.10.2.3

Добавим $0$ и $8 x$ .

$g'' (x) = \frac{8 x}{4 x^{4}}$

Этап 2.10.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.1

Сократим общий множитель $8$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8 x$ .

$g'' (x) = \frac{4 (2 x)}{4 x^{4}}$

Этап 2.10.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{4}$ .

$g'' (x) = \frac{4 (2 x)}{4 (x^{4})}$

Этап 2.10.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$g'' (x) = \frac{4 (2 x)}{4 x^{4}}$

Этап 2.10.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$g'' (x) = \frac{2 x}{x^{4}}$

Этап 2.10.3.2

Сократим общий множитель $x$ и $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$g'' (x) = \frac{x \cdot 2}{x^{4}}$

Этап 2.10.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$g'' (x) = \frac{x \cdot 2}{x \cdot x^{3}}$

Этап 2.10.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$g'' (x) = \frac{x \cdot 2}{x \cdot x^{3}}$

Этап 2.10.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$g'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 4}{x}]$

Этап 4.1.2

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 4] - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4.1.3.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4.1.3.4

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (2 x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4.1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4.1.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4.1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4.1.7

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4.1.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4) \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 4.1.9

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.9.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{x^{2}}$

Этап 4.1.9.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{x^{2}}$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{4 x^{2}}$

Этап 4.1.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 4}{4 x^{2}}$

Этап 4.1.10.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.10.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 4}{4 x^{2}}$

Этап 4.1.10.2.2

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4}{4 x^{2}}$

Этап 4.1.10.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.10.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 2^{2}}{4 x^{2}}$

Этап 4.1.10.3.2

$f' (x) = \frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}}$

Этап 4.2

Первая производная $g (x)$ по $x$ равна $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$(x + 2) (x - 2) = 0$

Этап 5.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 5.3.2

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 5.3.2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 5.3.3

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 5.3.3.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 5.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 2) (x - 2) = 0$ верно.

$x = - 2, 2$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим знаменатель в $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$4 x^{2} = 0$

Этап 6.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Разделим каждый член $4 x^{2} = 0$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Разделим каждый член $4 x^{2} = 0$ на $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 6.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 6.2.1.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{4}$

Этап 6.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1

Разделим $0$ на $4$ .

$x^{2} = 0$

Этап 6.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 6.2.3

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 6.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 6.2.3.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - 2, 2$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = - 2$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{2}{{(- 2)}^{3}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Сократим общий множитель $2$ и ${(- 2)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- 1 (- 2)}{{(- 2)}^{3}}$

Этап 9.1.2

Вынесем множитель $- 2$ из $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- 2 \cdot - 1}{{(- 2)}^{3}}$

Этап 9.1.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.1

Вынесем множитель $- 2$ из ${(- 2)}^{3}$ .

$\frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 {(- 2)}^{2}}$

Этап 9.1.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 {(- 2)}^{2}}$

Этап 9.1.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{{(- 2)}^{2}}$

Этап 9.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$\frac{- 1}{4}$

Этап 9.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{4}$

Этап 10

$x = - 2$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 2$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$g (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2} + 4}{4 (- 2)}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$g (- 2) = \frac{4 + 4}{4 (- 2)}$

Этап 11.2.1.2

Добавим $4$ и $4$ .

$g (- 2) = \frac{8}{4 (- 2)}$

Этап 11.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Умножим $4$ на $- 2$ .

$g (- 2) = \frac{8}{- 8}$

Этап 11.2.2.2

Разделим $8$ на $- 8$ .

$g (- 2) = - 1$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $- 1$ .

$y = - 1$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = 2$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{2}{{(2)}^{3}}$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Сократим общий множитель $2$ и ${(2)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (1)}{{(2)}^{3}}$

Этап 13.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из ${(2)}^{3}$ .

$\frac{2 (1)}{2 \cdot 2^{2}}$

Этап 13.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2^{2}}$

Этап 13.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2^{2}}$

Этап 13.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{1}{4}$

Этап 14

$x = 2$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 2$ — локальный минимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$g (2) = \frac{{(2)}^{2} + 4}{4 (2)}$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$g (2) = \frac{4 + 4}{4 (2)}$

Этап 15.2.1.2

Добавим $4$ и $4$ .

$g (2) = \frac{8}{4 (2)}$

Этап 15.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Умножим $4$ на $2$ .

$g (2) = \frac{8}{8}$

Этап 15.2.2.2

Разделим $8$ на $8$ .

$g (2) = 1$

Этап 15.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$y = 1$

Этап 16

Это локальные экстремумы $g (x) = \frac{x^{2} + 4}{4 x}$ .

$(- 2, - 1)$ — локальный максимум

$(2, 1)$ — локальный минимум

Этап 17