Математический анализ Примеры

$f (x) = \sin (x + \frac{π}{4})$ , $0 \leq x \leq \frac{7 π}{4}$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = x + \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + \frac{π}{4}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}]$

Этап 1.1.1.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}]$

Этап 1.1.1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + \frac{π}{4}$ .

$\cos (x + \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}]$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

По правилу суммы производная $x + \frac{π}{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$ .

$\cos (x + \frac{π}{4}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

Этап 1.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cos (x + \frac{π}{4}) (1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

Этап 1.1.1.2.3

Поскольку $\frac{π}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{π}{4}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\cos (x + \frac{π}{4}) (1 + 0)$

Этап 1.1.1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\cos (x + \frac{π}{4}) \cdot 1$

Этап 1.1.1.2.4.2

Умножим $\cos (x + \frac{π}{4})$ на $1$ .

$f' (x) = \cos (x + \frac{π}{4})$

Этап 1.1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\cos (x + \frac{π}{4})$ .

$\cos (x + \frac{π}{4})$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\cos (x + \frac{π}{4}) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\cos (x + \frac{π}{4}) = 0$

Этап 1.2.2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x + \frac{π}{4} = \arccos (0)$

Этап 1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$

Этап 1.2.4

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Вычтем $\frac{π}{4}$ из обеих частей уравнения.

$x = \frac{π}{2} - \frac{π}{4}$

Этап 1.2.4.2

Чтобы записать $\frac{π}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

Этап 1.2.4.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.3.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}$

Этап 1.2.4.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 1.2.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{4}$

Этап 1.2.4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.5.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{4}$

Этап 1.2.4.5.2

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 1.2.5

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x + \frac{π}{4} = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 1.2.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x + \frac{π}{4} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 1.2.6.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 1.2.6.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x + \frac{π}{4} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 1.2.6.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 1.2.6.1.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{2}$

Этап 1.2.6.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1

Вычтем $\frac{π}{4}$ из обеих частей уравнения.

$x = \frac{3 π}{2} - \frac{π}{4}$

Этап 1.2.6.2.2

Чтобы записать $\frac{3 π}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

Этап 1.2.6.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.3.1

Умножим $\frac{3 π}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3 π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}$

Этап 1.2.6.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{3 π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 1.2.6.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{3 π \cdot 2 - π}{4}$

Этап 1.2.6.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.5.1

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{6 π - π}{4}$

Этап 1.2.6.2.5.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Этап 1.2.7

Найдем период $\cos (x + \frac{π}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 1.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 1.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 1.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 1.2.8

Период функции $\cos (x + \frac{π}{4})$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.2.9

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 1.4

Вычислим $\sin (x + \frac{π}{4})$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем значение в $x = \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Подставим $\frac{π}{4}$ вместо $x$ .

$\sin ((\frac{π}{4}) + \frac{π}{4})$

Этап 1.4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sin (\frac{π + π}{4})$

Этап 1.4.1.2.2

Добавим $π$ и $π$ .

$\sin (\frac{2 π}{4})$

Этап 1.4.1.2.3

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$\sin (\frac{2 (π)}{4})$

Этап 1.4.1.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2})$

Этап 1.4.1.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2})$

Этап 1.4.1.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\sin (\frac{π}{2})$

Этап 1.4.1.2.4

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$1$

Этап 1.4.2

Найдем значение в $x = \frac{5 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Подставим $\frac{5 π}{4}$ вместо $x$ .

$\sin ((\frac{5 π}{4}) + \frac{π}{4})$

Этап 1.4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sin (\frac{5 π + π}{4})$

Этап 1.4.2.2.2

Добавим $5 π$ и $π$ .

$\sin (\frac{6 π}{4})$

Этап 1.4.2.2.3

Сократим общий множитель $6$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $6 π$ .

$\sin (\frac{2 (3 π)}{4})$

Этап 1.4.2.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

Этап 1.4.2.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

Этап 1.4.2.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 1.4.2.2.4

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$- \sin (\frac{π}{2})$

Этап 1.4.2.2.5

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 1.4.2.2.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 1.4.3

Перечислим все точки.

$(\frac{π}{4} + 2 π n, 1), (\frac{5 π}{4} + 2 π n, - 1)$ , для любого целого $n$

Этап 2

Исключим точки, которые не принадлежат данному интервалу.

$(\frac{π}{4}, 1), (\frac{5 π}{4}, - 1)$

Этап 3

Вычислим на включенных конечных точках.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$\sin ((0) + \frac{π}{4})$

Этап 3.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Добавим $0$ и $\frac{π}{4}$ .

$\sin (\frac{π}{4})$

Этап 3.1.2.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 3.2

Найдем значение в $x = \frac{7 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Подставим $\frac{7 π}{4}$ вместо $x$ .

$\sin ((\frac{7 π}{4}) + \frac{π}{4})$

Этап 3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sin (\frac{7 π + π}{4})$

Этап 3.2.2.2

Добавим $7 π$ и $π$ .

$\sin (\frac{8 π}{4})$

Этап 3.2.2.3

Сократим общий множитель $8$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.3.1

Вынесем множитель $4$ из $8 π$ .

$\sin (\frac{4 (2 π)}{4})$

Этап 3.2.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\sin (\frac{4 (2 π)}{4 (1)})$

Этап 3.2.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\sin (\frac{4 (2 π)}{4 \cdot 1})$

Этап 3.2.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\sin (\frac{2 π}{1})$

Этап 3.2.2.3.2.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$\sin (2 π)$

Этап 3.2.2.4

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\sin (0)$

Этап 3.2.2.5

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$0$

Этап 3.3

Перечислим все точки.

$(0, \frac{\sqrt{2}}{2}), (\frac{7 π}{4}, 0)$

Этап 4

Сравним значения $f (x)$ , найденные для каждого значения $x$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $f (x)$ , а минимум — при наименьшем значении $f (x)$ .

Абсолютный максимум: $(\frac{π}{4}, 1)$

Абсолютный минимум: $(\frac{5 π}{4}, - 1)$

Этап 5