Математический анализ Примеры

$\frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Этап 1.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Этап 1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 1.3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 1.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x^{1}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 1.4.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 1.4.2.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 1.4.2.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{x}{1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 1.4.2.2.5

Разделим $x$ на $1$ .

$\frac{x - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 1.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x - \ln (x) (2 x)}{x^{4}}$

Этап 1.4.4

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{x - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

Этап 1.4.4.2

Вынесем множитель $x$ из $x - 2 \ln (x) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{1} - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

Этап 1.4.4.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1 - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

Этап 1.4.4.2.3

Вынесем множитель $x$ из $- 2 \ln (x) x$ .

$\frac{x \cdot 1 + x (- 2 \ln (x))}{x^{4}}$

Этап 1.4.4.2.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 1 + x (- 2 \ln (x))$ .

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x^{4}}$

Этап 1.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x \cdot x^{3}}$

Этап 1.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x \cdot x^{3}}$

Этап 1.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1 - 2 \ln (x)}{x^{3}}$

Этап 1.6

Упростим $- 2 \ln (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

$f'' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{{(x^{3})}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{3 \cdot 2}}$

Этап 2.2.1.2

Умножим $3$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Этап 2.2.2

По правилу суммы производная $1 - \ln (x^{2})$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Этап 2.2.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Этап 2.2.4

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (- \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Этап 2.2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \ln (x^{2})$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (- \frac{d}{d x} \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (- (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Этап 2.3.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (- (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (- (\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Объединим $x^{3}$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{3}}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Этап 2.4.2

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Этап 2.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Умножим на $1$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Этап 2.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Этап 2.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x}{1} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Этап 2.4.2.2.4

Разделим $x$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{- x \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Этап 2.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{- x (2 x) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Этап 2.4.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x \cdot x - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Этап 2.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Этап 2.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Этап 2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 1} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Этап 2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Этап 2.10

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 3 (1 - \ln (x^{2})) x^{2}}{x^{6}}$

Этап 2.10.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 2 x^{2} - 3 (1 - \ln (x^{2})) x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \cdot - 2 - 3 (1 - \ln (x^{2})) x^{2}}{x^{6}}$

Этап 2.10.2.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 3 (1 - \ln (x^{2})) x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \cdot - 2 + x^{2} (- 3 (1 - \ln (x^{2})))}{x^{6}}$

Этап 2.10.2.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} \cdot - 2 + x^{2} (- 3 (1 - \ln (x^{2})))$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- 2 - 3 (1 - \ln (x^{2})))}{x^{6}}$

Этап 2.11

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- 2 - 3 (1 - \ln (x^{2})))}{x^{2} x^{4}}$

Этап 2.11.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- 2 - 3 (1 - \ln (x^{2})))}{x^{2} x^{4}}$

Этап 2.11.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 (1 - \ln (x^{2}))}{x^{4}}$

Этап 2.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 \cdot 1 - 3 (- \ln (x^{2}))}{x^{4}}$

Этап 2.12.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.2.1.1

Умножим $- 3$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 - 3 (- \ln (x^{2}))}{x^{4}}$

Этап 2.12.2.1.2

Умножим $- 3 (- \ln (x^{2}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 + 3 \ln (x^{2})}{x^{4}}$

Этап 2.12.2.1.2.2

Упростим $3 \ln (x^{2})$ путем переноса $3$ под логарифм.

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 + \ln ({(x^{2})}^{3})}{x^{4}}$

Этап 2.12.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 + \ln (x^{2 \cdot 3})}{x^{4}}$

Этап 2.12.2.1.3.2

Умножим $2$ на $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 + \ln (x^{6})}{x^{4}}$

Этап 2.12.2.2

Вычтем $3$ из $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{- 5 + \ln (x^{6})}{x^{4}}$

Этап 2.12.3

Перепишем $- 5$ в виде $- 1 (5)$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 5 + \ln (x^{6})}{x^{4}}$

Этап 2.12.4

Вынесем множитель $- 1$ из $\ln (x^{6})$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 5 - 1 (- \ln (x^{6}))}{x^{4}}$

Этап 2.12.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (5) - 1 (- \ln (x^{6}))$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 (5 - \ln (x^{6}))}{x^{4}}$

Этап 2.12.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{5 - \ln (x^{6})}{x^{4}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Этап 4.1.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 4.1.3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 4.1.4.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 4.1.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x^{1}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 4.1.4.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 4.1.4.2.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 4.1.4.2.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{x}{1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 4.1.4.2.2.5

Разделим $x$ на $1$ .

$\frac{x - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 4.1.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x - \ln (x) (2 x)}{x^{4}}$

Этап 4.1.4.4

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{x - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

Этап 4.1.4.4.2

Вынесем множитель $x$ из $x - 2 \ln (x) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{1} - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

Этап 4.1.4.4.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1 - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

Этап 4.1.4.4.2.3

Вынесем множитель $x$ из $- 2 \ln (x) x$ .

$\frac{x \cdot 1 + x (- 2 \ln (x))}{x^{4}}$

Этап 4.1.4.4.2.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 1 + x (- 2 \ln (x))$ .

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x^{4}}$

Этап 4.1.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x \cdot x^{3}}$

Этап 4.1.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x \cdot x^{3}}$

Этап 4.1.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1 - 2 \ln (x)}{x^{3}}$

Этап 4.1.6

Упростим $- 2 \ln (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$ .

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$1 - \ln (x^{2}) = 0$

Этап 5.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \ln (x^{2}) = - 1$

Этап 5.3.2

Разделим каждый член $- \ln (x^{2}) = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Разделим каждый член $- \ln (x^{2}) = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \ln (x^{2})}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 5.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\ln (x^{2})}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 5.3.2.2.2

Разделим $\ln (x^{2})$ на $1$ .

$\ln (x^{2}) = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 5.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$\ln (x^{2}) = 1$

Этап 5.3.3

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x^{2})} = e^{1}$

Этап 5.3.4

Перепишем $\ln (x^{2}) = 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{1} = x^{2}$

Этап 5.3.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} = e^{1}$ .

$x^{2} = e$

Этап 5.3.5.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{e^{1}}$

Этап 5.3.5.3

Упростим.

$x = \pm \sqrt{e}$

Этап 5.3.5.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{e}$

Этап 5.3.5.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{e}$

Этап 5.3.5.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{e}, - \sqrt{e}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим знаменатель в $\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{3} = 0$

Этап 6.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \sqrt[3]{0}$

Этап 6.2.2

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 6.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 6.3

Зададим аргумент в $\ln (x^{2})$ меньшим или равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} \leq 0$

Этап 6.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{0}$

Этап 6.4.2

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \leq \sqrt{0}$

Этап 6.4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1

Упростим $\sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{0^{2}}$

Этап 6.4.2.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \leq | 0 |$

Этап 6.4.2.2.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $0$ равно $0$ .

$| x | \leq 0$

Этап 6.4.3

Запишем $| x | \leq 0$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 6.4.3.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x \leq 0$

Этап 6.4.3.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 6.4.3.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x \leq 0$

Этап 6.4.3.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x \leq 0 & x \geq 0 \\ - x \leq 0 & x < 0 \end{cases}$

Этап 6.4.4

Найдем пересечение $x \leq 0$ и $x \geq 0$ .

$x = 0$

Этап 6.4.5

Решим $- x \leq 0$ , когда $x < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.5.1

Разделим каждый член $- x \leq 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.5.1.1

Разделим каждый член $- x \leq 0$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{0}{- 1}$

Этап 6.4.5.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.5.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \geq \frac{0}{- 1}$

Этап 6.4.5.1.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{0}{- 1}$

Этап 6.4.5.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.5.1.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

$x \geq 0$

Этап 6.4.5.2

Найдем пересечение $x \geq 0$ и $x < 0$ .

Нет решения

Этап 6.4.6

Найдем объединение решений.

$x = 0$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \sqrt{e}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \sqrt{e}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{5 - \ln ({(\sqrt{e})}^{6})}{{(\sqrt{e})}^{4}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Перепишем ${\sqrt{e}}^{6}$ в виде $e^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{e}$ в виде $e^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{5 - \ln ({(e^{\frac{1}{2}})}^{6})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Этап 9.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{1}{2} \cdot 6})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Этап 9.1.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $6$ .

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{6}{2}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Этап 9.1.1.4

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{2 \cdot 3}{2}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Этап 9.1.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Этап 9.1.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Этап 9.1.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{3}{1}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Этап 9.1.1.4.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$- \frac{5 - \ln (e^{3})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Этап 9.1.2

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $3$ из степени.

$- \frac{5 - (3 \ln (e))}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Этап 9.1.3

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$- \frac{5 - (3 \cdot 1)}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Этап 9.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$- \frac{5 - 1 \cdot 3}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Этап 9.1.5

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- \frac{5 - 3}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Этап 9.1.6

Вычтем $3$ из $5$ .

$- \frac{2}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Этап 9.2

Перепишем ${\sqrt{e}}^{4}$ в виде $e^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{e}$ в виде $e^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Этап 9.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{e^{\frac{1}{2} \cdot 4}}$

Этап 9.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$- \frac{2}{e^{\frac{4}{2}}}$

Этап 9.2.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- \frac{2}{e^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}$

Этап 9.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{2}{e^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}$

Этап 9.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{2}{e^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}$

Этап 9.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{2}{e^{\frac{2}{1}}}$

Этап 9.2.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$- \frac{2}{e^{2}}$

Этап 10

$x = \sqrt{e}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \sqrt{e}$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = \sqrt{e}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\sqrt{e}$ .

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{{(\sqrt{e})}^{2}}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Перепишем ${\sqrt{e}}^{2}$ в виде $e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{e}$ в виде $e^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 11.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 11.2.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e^{\frac{2}{2}}}$

Этап 11.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e^{\frac{2}{2}}}$

Этап 11.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e}$

Этап 11.2.1.5

Упростим.

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e}$

Этап 11.2.2

Окончательный ответ: $\frac{\ln (\sqrt{e})}{e}$ .

$y = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e}$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = \frac{\ln (x)}{x^{2}}$ .

$(\sqrt{e}, \frac{\ln (\sqrt{e})}{e})$ — локальный максимум

Этап 13