Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 1.3.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Этап 2.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.2.2

По правилу суммы производная $1 - \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.2.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.2.4

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (- \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \ln (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- \frac{d}{d x} \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- \frac{1}{x}) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2}}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.4.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.4.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.4.2.2.3

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.4.2.2.4

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x}{1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.4.2.2.5

Разделим $x$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{- x - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{- x - (1 - \ln (x)) (2 x)}{x^{4}}$

Этап 2.4.4

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- x - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

Этап 2.4.4.2

Вынесем множитель $x$ из $- x - 2 (1 - \ln (x)) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.2.1

Вынесем множитель $x$ из $- x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 1 - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

Этап 2.4.4.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 (1 - \ln (x)) x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

Этап 2.4.4.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))$ .

$f'' (x) = \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

Этап 2.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Этап 2.5.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Этап 2.5.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 (1 - \ln (x))}{x^{3}}$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 \cdot 1 - 2 (- \ln (x))}{x^{3}}$

Этап 2.6.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 - 2 (- \ln (x))}{x^{3}}$

Этап 2.6.2.1.2

Умножим $- 2 (- \ln (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 + 2 \ln (x)}{x^{3}}$

Этап 2.6.2.1.2.2

Упростим $2 \ln (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Этап 2.6.2.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 3 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Этап 2.6.3

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 3 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Этап 2.6.4

Вынесем множитель $- 1$ из $\ln (x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

Этап 2.6.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (3) - 1 (- \ln (x^{2}))$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 (3 - \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

Этап 2.6.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4.1.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4.1.3.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 4.1.3.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ .

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$1 - \ln (x) = 0$

Этап 5.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \ln (x) = - 1$

Этап 5.3.2

Разделим каждый член $- \ln (x) = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Разделим каждый член $- \ln (x) = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \ln (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 5.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\ln (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 5.3.2.2.2

Разделим $\ln (x)$ на $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 5.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$\ln (x) = 1$

Этап 5.3.3

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x)} = e^{1}$

Этап 5.3.4

Перепишем $\ln (x) = 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{1} = x$

Этап 5.3.5

Перепишем уравнение в виде $x = e^{1}$ .

$x = e$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим знаменатель в $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} = 0$

Этап 6.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 6.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 6.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 6.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 6.3

Зададим аргумент в $\ln (x)$ меньшим или равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x \leq 0$

Этап 6.4

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = e$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = e$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{3 - \ln ({(e)}^{2})}{{(e)}^{3}}$

Этап 9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $2$ из степени.

$- \frac{3 - (2 \ln (e))}{e^{3}}$

Этап 9.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$- \frac{3 - (2 \cdot 1)}{e^{3}}$

Этап 9.3

Умножим $2$ на $1$ .

$- \frac{3 - 1 \cdot 2}{e^{3}}$

Этап 9.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \frac{3 - 2}{e^{3}}$

Этап 9.5

Вычтем $2$ из $3$ .

$- \frac{1}{e^{3}}$

Этап 10

$x = e$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = e$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $e$ .

$f (e) = \frac{\ln (e)}{e}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$f (e) = \frac{1}{e}$

Этап 11.2.2

Окончательный ответ: $\frac{1}{e}$ .

$y = \frac{1}{e}$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$ .

$(e, \frac{1}{e})$ — локальный максимум

Этап 13