Математический анализ Примеры

$f (x) = - 3 x^{4} - 8 x^{3} - 6 x^{2} + 1$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $- 3 x^{4} - 8 x^{3} - 6 x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{4}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2.3

Умножим $4$ на $- 3$ .

$- 12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x^{3}$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 12 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 12 x^{3} - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.3.3

Умножим $3$ на $- 8$ .

$- 12 x^{3} - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x^{2}$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 12 x^{3} - 24 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 12 x^{3} - 24 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.4.3

Умножим $2$ на $- 6$ .

$- 12 x^{3} - 24 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 12 x^{3} - 24 x^{2} - 12 x + 0$

Этап 1.5.2

Добавим $- 12 x^{3} - 24 x^{2} - 12 x$ и $0$ .

$- 12 x^{3} - 24 x^{2} - 12 x$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 12 x^{3} - 24 x^{2} - 12 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x^{3}$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 12 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = - 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $- 12$ .

$f'' (x) = - 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 24$ является константой относительно $x$ , производная $- 24 x^{2}$ по $x$ равна $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 36 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - 36 x^{2} - 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $- 24$ .

$f'' (x) = - 36 x^{2} - 48 x + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 36 x^{2} - 48 x - 12 \frac{d}{d x} x$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 36 x^{2} - 48 x - 12 \cdot 1$

Этап 2.4.3

Умножим $- 12$ на $1$ .

$f'' (x) = - 36 x^{2} - 48 x - 12$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 12 x^{3} - 24 x^{2} - 12 x = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{4}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $4$ на $- 3$ .

$- 12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x^{3}$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 12 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 12 x^{3} - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $3$ на $- 8$ .

$- 12 x^{3} - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x^{2}$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 12 x^{3} - 24 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 12 x^{3} - 24 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.4.3

Умножим $2$ на $- 6$ .

$- 12 x^{3} - 24 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 12 x^{3} - 24 x^{2} - 12 x + 0$

Этап 4.1.5.2

Добавим $- 12 x^{3} - 24 x^{2} - 12 x$ и $0$ .

$f' (x) = - 12 x^{3} - 24 x^{2} - 12 x$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 12 x^{3} - 24 x^{2} - 12 x$ .

$- 12 x^{3} - 24 x^{2} - 12 x$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 12 x^{3} - 24 x^{2} - 12 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 12 x^{3} - 24 x^{2} - 12 x = 0$

Этап 5.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $- 12 x$ из $- 12 x^{3} - 24 x^{2} - 12 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $- 12 x$ из $- 12 x^{3}$ .

$- 12 x \cdot x^{2} - 24 x^{2} - 12 x = 0$

Этап 5.2.1.2

Вынесем множитель $- 12 x$ из $- 24 x^{2}$ .

$- 12 x \cdot x^{2} - 12 x (2 x) - 12 x = 0$

Этап 5.2.1.3

Вынесем множитель $- 12 x$ из $- 12 x$ .

$- 12 x \cdot x^{2} - 12 x (2 x) - 12 x \cdot 1 = 0$

Этап 5.2.1.4

Вынесем множитель $- 12 x$ из $- 12 x (x^{2}) - 12 x (2 x)$ .

$- 12 x (x^{2} + 2 x) - 12 x \cdot 1 = 0$

Этап 5.2.1.5

Вынесем множитель $- 12 x$ из $- 12 x (x^{2} + 2 x) - 12 x (1)$ .

$- 12 x (x^{2} + 2 x + 1) = 0$

Этап 5.2.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$- 12 x (x^{2} + 2 x + 1^{2}) = 0$

Этап 5.2.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Этап 5.2.2.3

Перепишем многочлен.

$- 12 x (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Этап 5.2.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$- 12 x {(x + 1)}^{2} = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

${(x + 1)}^{2} = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 5.5

Приравняем ${(x + 1)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем ${(x + 1)}^{2}$ к $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Этап 5.5.2

Решим ${(x + 1)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 5.5.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 12 x {(x + 1)}^{2} = 0$ верно.

$x = 0, - 1$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, - 1$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 36 {(0)}^{2} - 48 \cdot 0 - 12$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 36 \cdot 0 - 48 \cdot 0 - 12$

Этап 9.1.2

Умножим $- 36$ на $0$ .

$0 - 48 \cdot 0 - 12$

Этап 9.1.3

Умножим $- 48$ на $0$ .

$0 + 0 - 12$

Этап 9.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 - 12$

Этап 9.2.2

Вычтем $12$ из $0$ .

$- 12$

Этап 10

$x = 0$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = - 3 {(0)}^{4} - 8 {(0)}^{3} - 6 {(0)}^{2} + 1$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = - 3 \cdot 0 - 8 {(0)}^{3} - 6 {(0)}^{2} + 1$

Этап 11.2.1.2

Умножим $- 3$ на $0$ .

$f (0) = 0 - 8 {(0)}^{3} - 6 {(0)}^{2} + 1$

Этап 11.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 - 8 \cdot 0 - 6 {(0)}^{2} + 1$

Этап 11.2.1.4

Умножим $- 8$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 6 {(0)}^{2} + 1$

Этап 11.2.1.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 6 \cdot 0 + 1$

Этап 11.2.1.6

Умножим $- 6$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 1$

Этап 11.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Этап 11.2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Этап 11.2.2.3

Добавим $0$ и $1$ .

$f (0) = 1$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$y = 1$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 36 {(- 1)}^{2} - 48 \cdot - 1 - 12$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 36 \cdot 1 - 48 \cdot - 1 - 12$

Этап 13.1.2

Умножим $- 36$ на $1$ .

$- 36 - 48 \cdot - 1 - 12$

Этап 13.1.3

Умножим $- 48$ на $- 1$ .

$- 36 + 48 - 12$

Этап 13.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Добавим $- 36$ и $48$ .

$12 - 12$

Этап 13.2.2

Вычтем $12$ из $12$ .

$0$

Этап 14

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 14.2

Подставим любое число такое, что $- 4$ , из интервала $(- \infty, - 1)$ в первую производную $- 12 x^{3} - 24 x^{2} - 12 x$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f' (- 4) = - 12 {(- 4)}^{3} - 24 {(- 4)}^{2} - 12 \cdot - 4$

Этап 14.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.1.1

Возведем $- 4$ в степень $3$ .

$f' (- 4) = - 12 \cdot - 64 - 24 {(- 4)}^{2} - 12 \cdot - 4$

Этап 14.2.2.1.2

Умножим $- 12$ на $- 64$ .

$f' (- 4) = 768 - 24 {(- 4)}^{2} - 12 \cdot - 4$

Этап 14.2.2.1.3

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$f' (- 4) = 768 - 24 \cdot 16 - 12 \cdot - 4$

Этап 14.2.2.1.4

Умножим $- 24$ на $16$ .

$f' (- 4) = 768 - 384 - 12 \cdot - 4$

Этап 14.2.2.1.5

Умножим $- 12$ на $- 4$ .

$f' (- 4) = 768 - 384 + 48$

Этап 14.2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.2.1

Вычтем $384$ из $768$ .

$f' (- 4) = 384 + 48$

Этап 14.2.2.2.2

Добавим $384$ и $48$ .

$f' (- 4) = 432$

Этап 14.2.2.3

Окончательный ответ: $432$ .

$432$

Этап 14.3

Подставим любое число такое, что $- 0.5$ , из интервала $(- 1, 0)$ в первую производную $- 12 x^{3} - 24 x^{2} - 12 x$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.5$ .

$f' (- 0.5) = - 12 {(- 0.5)}^{3} - 24 {(- 0.5)}^{2} - 12 \cdot - 0.5$

Этап 14.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.1.1

Возведем $- 0.5$ в степень $3$ .

$f' (- 0.5) = - 12 \cdot - 0.125 - 24 {(- 0.5)}^{2} - 12 \cdot - 0.5$

Этап 14.3.2.1.2

Умножим $- 12$ на $- 0.125$ .

$f' (- 0.5) = 1.5 - 24 {(- 0.5)}^{2} - 12 \cdot - 0.5$

Этап 14.3.2.1.3

Возведем $- 0.5$ в степень $2$ .

$f' (- 0.5) = 1.5 - 24 \cdot 0.25 - 12 \cdot - 0.5$

Этап 14.3.2.1.4

Умножим $- 24$ на $0.25$ .

$f' (- 0.5) = 1.5 - 6 - 12 \cdot - 0.5$

Этап 14.3.2.1.5

Умножим $- 12$ на $- 0.5$ .

$f' (- 0.5) = 1.5 - 6 + 6$

Этап 14.3.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.2.1

Вычтем $6$ из $1.5$ .

$f' (- 0.5) = - 4.5 + 6$

Этап 14.3.2.2.2

Добавим $- 4.5$ и $6$ .

$f' (- 0.5) = 1.5$

Этап 14.3.2.3

Окончательный ответ: $1.5$ .

$1.5$

Этап 14.4

Подставим любое число такое, что $2$ , из интервала $(0, \infty)$ в первую производную $- 12 x^{3} - 24 x^{2} - 12 x$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = - 12 {(2)}^{3} - 24 {(2)}^{2} - 12 \cdot 2$

Этап 14.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.1.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f' (2) = - 12 \cdot 8 - 24 {(2)}^{2} - 12 \cdot 2$

Этап 14.4.2.1.2

Умножим $- 12$ на $8$ .

$f' (2) = - 96 - 24 {(2)}^{2} - 12 \cdot 2$

Этап 14.4.2.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (2) = - 96 - 24 \cdot 4 - 12 \cdot 2$

Этап 14.4.2.1.4

Умножим $- 24$ на $4$ .

$f' (2) = - 96 - 96 - 12 \cdot 2$

Этап 14.4.2.1.5

Умножим $- 12$ на $2$ .

$f' (2) = - 96 - 96 - 24$

Этап 14.4.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.2.1

Вычтем $96$ из $- 96$ .

$f' (2) = - 192 - 24$

Этап 14.4.2.2.2

Вычтем $24$ из $- 192$ .

$f' (2) = - 216$

Этап 14.4.2.3

Окончательный ответ: $- 216$ .

$- 216$

Этап 14.5

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = - 1$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 14.6

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = 0$ , $x = 0$ — локальный максимум.

$x = 0$ — локальный максимум

Этап 15