Математический анализ Примеры

$x e^{- 2 x}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{- 2 x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 2 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 2 x$ .

$x (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$x (e^{- 2 x} \cdot - 2) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.3.2

Перенесем $- 2$ влево от $e^{- 2 x}$ .

$x (- 2 \cdot e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} \cdot 1$

Этап 1.3.5

Умножим $e^{- 2 x}$ на $1$ .

$x (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Изменим порядок членов.

$- 2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x}$

Этап 1.4.2

Изменим порядок множителей в $- 2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x}$ .

$- 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 2 x e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x e^{- 2 x}) + \frac{d}{d x} (e^{- 2 x})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x e^{- 2 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x e^{- 2 x}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x e^{- 2 x}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} (x e^{- 2 x}) + \frac{d}{d x} (e^{- 2 x})$

Этап 2.2.2

$f'' (x) = - 2 (x \frac{d}{d x} (e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- 2 x})$

Этап 2.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $- 2 x$ .

$f'' (x) = - 2 (x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- 2 x)) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- 2 x})$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 2 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- 2 x)) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- 2 x})$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- 2 x$ .

$f'' (x) = - 2 (x (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (- 2 x)) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- 2 x})$

Этап 2.2.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 (x (e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} x)) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- 2 x})$

Этап 2.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 (x (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- 2 x})$

Этап 2.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 (x (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)) + e^{- 2 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- 2 x})$

Этап 2.2.7

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x (e^{- 2 x} \cdot - 2) + e^{- 2 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- 2 x})$

Этап 2.2.8

Перенесем $- 2$ влево от $e^{- 2 x}$ .

$f'' (x) = - 2 (x (- 2 \cdot e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- 2 x})$

Этап 2.2.9

Умножим $e^{- 2 x}$ на $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x}) + \frac{d}{d x} (e^{- 2 x})$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- 2 x$ .

$f'' (x) = - 2 (x (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x}) + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Этап 2.3.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 2 (x (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Этап 2.3.1.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- 2 x$ .

$f'' (x) = - 2 (x (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Этап 2.3.2

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 (x (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} x)$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 (x (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)$

Этап 2.3.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} \cdot - 2$

Этап 2.3.5

Перенесем $- 2$ влево от $e^{- 2 x}$ .

$f'' (x) = - 2 (x (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x}) - 2 e^{- 2 x}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - 2 (x (- 2 e^{- 2 x})) - 2 e^{- 2 x} - 2 e^{- 2 x}$

Этап 2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = 4 (x (e^{- 2 x})) - 2 e^{- 2 x} - 2 e^{- 2 x}$

Этап 2.4.2.2

Вычтем $2 e^{- 2 x}$ из $- 2 e^{- 2 x}$ .

$f'' (x) = 4 x e^{- 2 x} - 4 e^{- 2 x}$

Этап 2.4.3

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = 4 e^{- 2 x} x - 4 e^{- 2 x}$

Этап 2.4.4

Изменим порядок множителей в $4 e^{- 2 x} x - 4 e^{- 2 x}$ .

$f'' (x) = 4 x e^{- 2 x} - 4 e^{- 2 x}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$x \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 2 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.2.2

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 2 x$ .

$x (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.3.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$x (e^{- 2 x} \cdot - 2) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3.3.2

Перенесем $- 2$ влево от $e^{- 2 x}$ .

$x (- 2 \cdot e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} \cdot 1$

Этап 4.1.3.5

Умножим $e^{- 2 x}$ на $1$ .

$x (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x}$

Этап 4.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Изменим порядок членов.

$- 2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x}$

Этап 4.1.4.2

Изменим порядок множителей в $- 2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x}$ .

$f' (x) = - 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$ .

$- 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} = 0$

Этап 5.2

Вынесем множитель $e^{- 2 x}$ из $- 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $e^{- 2 x}$ из $- 2 x e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} (- 2 x) + e^{- 2 x} = 0$

Этап 5.2.2

Умножим на $1$ .

$e^{- 2 x} (- 2 x) + e^{- 2 x} \cdot 1 = 0$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $e^{- 2 x}$ из $e^{- 2 x} (- 2 x) + e^{- 2 x} \cdot 1$ .

$e^{- 2 x} (- 2 x + 1) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{- 2 x} = 0$

$- 2 x + 1 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $e^{- 2 x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $e^{- 2 x}$ к $0$ .

$e^{- 2 x} = 0$

Этап 5.4.2

Решим $e^{- 2 x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{- 2 x}) = \ln (0)$

Этап 5.4.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 5.4.2.3

Нет решения для $e^{- 2 x} = 0$

Нет решения

Этап 5.5

Приравняем $- 2 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $- 2 x + 1$ к $0$ .

$- 2 x + 1 = 0$

Этап 5.5.2

Решим $- 2 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x = - 1$

Этап 5.5.2.2

Разделим каждый член $- 2 x = - 1$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Разделим каждый член $- 2 x = - 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 5.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 5.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 5.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{1}{2}$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $e^{- 2 x} (- 2 x + 1) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{2}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{1}{2}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \frac{1}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$4 (\frac{1}{2}) e^{- 2 (\frac{1}{2})} - 4 e^{- 2 (\frac{1}{2})}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 (2) \frac{1}{2} e^{- 2 (\frac{1}{2})} - 4 e^{- 2 (\frac{1}{2})}$

Этап 9.1.1.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 2 \frac{1}{2} e^{- 2 (\frac{1}{2})} - 4 e^{- 2 (\frac{1}{2})}$

Этап 9.1.1.3

Перепишем это выражение.

$2 e^{- 2 (\frac{1}{2})} - 4 e^{- 2 (\frac{1}{2})}$

Этап 9.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 e^{2 (- 1) \frac{1}{2}} - 4 e^{- 2 (\frac{1}{2})}$

Этап 9.1.2.2

Сократим общий множитель.

$2 e^{2 \cdot - 1 \frac{1}{2}} - 4 e^{- 2 (\frac{1}{2})}$

Этап 9.1.2.3

Перепишем это выражение.

$2 e^{- 1} - 4 e^{- 2 (\frac{1}{2})}$

Этап 9.1.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{e} - 4 e^{- 2 (\frac{1}{2})}$

Этап 9.1.4

Объединим $2$ и $\frac{1}{e}$ .

$\frac{2}{e} - 4 e^{- 2 (\frac{1}{2})}$

Этап 9.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{2}{e} - 4 e^{2 (- 1) \frac{1}{2}}$

Этап 9.1.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{e} - 4 e^{2 \cdot - 1 \frac{1}{2}}$

Этап 9.1.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{e} - 4 e^{- 1}$

Этап 9.1.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{e} - 4 \frac{1}{e}$

Этап 9.1.7

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{e}$ .

$\frac{2}{e} + \frac{- 4}{e}$

Этап 9.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2}{e} - \frac{4}{e}$

Этап 9.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 - 4}{e}$

Этап 9.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Вычтем $4$ из $2$ .

$\frac{- 2}{e}$

Этап 9.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{e}$

Этап 10

$x = \frac{1}{2}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{1}{2}$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2}) \cdot e^{- 2 (\frac{1}{2})}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot e^{2 (- 1) (\frac{1}{2})}$

Этап 11.2.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot e^{2 \cdot (- 1 (\frac{1}{2}))}$

Этап 11.2.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot e^{- 1}$

Этап 11.2.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e}$

Этап 11.2.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{e}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2 e}$

Этап 11.2.4

Окончательный ответ: $\frac{1}{2 e}$ .

$y = \frac{1}{2 e}$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = x e^{- 2 x}$ .

$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2 e})$ — локальный максимум

Этап 13