Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2} + 5$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $3 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2} + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{4}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.2.3

Умножим $4$ на $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$12 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.3.3

Умножим $3$ на $4$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x^{2}$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.4.3

Умножим $2$ на $- 12$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x + 0$

Этап 1.5.2

Добавим $12 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x$ и $0$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $12 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{3}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{2}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 24$ является константой относительно $x$ , производная $- 24 x$ по $x$ равна $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 24 \frac{d}{d x} x$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 24 \cdot 1$

Этап 2.4.3

Умножим $- 24$ на $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 24$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{4}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $4$ на $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$12 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $3$ на $4$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x^{2}$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.4.3

Умножим $2$ на $- 12$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x + 0$

Этап 4.1.5.2

Добавим $12 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x$ и $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $12 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $12 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x = 0$

Этап 5.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $12 x$ из $12 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $12 x$ из $12 x^{3}$ .

$12 x (x^{2}) + 12 x^{2} - 24 x = 0$

Этап 5.2.1.2

Вынесем множитель $12 x$ из $12 x^{2}$ .

$12 x (x^{2}) + 12 x (x) - 24 x = 0$

Этап 5.2.1.3

Вынесем множитель $12 x$ из $- 24 x$ .

$12 x (x^{2}) + 12 x (x) + 12 x (- 2) = 0$

Этап 5.2.1.4

Вынесем множитель $12 x$ из $12 x (x^{2}) + 12 x (x)$ .

$12 x (x^{2} + x) + 12 x (- 2) = 0$

Этап 5.2.1.5

Вынесем множитель $12 x$ из $12 x (x^{2} + x) + 12 x (- 2)$ .

$12 x (x^{2} + x - 2) = 0$

Этап 5.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разложим $x^{2} + x - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $1$ .

$- 1, 2$

Этап 5.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$12 x ((x - 1) (x + 2)) = 0$

Этап 5.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$12 x (x - 1) (x + 2) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 5.5

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 5.5.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 5.6

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 5.6.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 5.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $12 x (x - 1) (x + 2) = 0$ верно.

$x = 0, 1, - 2$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, 1, - 2$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$36 {(0)}^{2} + 24 (0) - 24$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$36 \cdot 0 + 24 (0) - 24$

Этап 9.1.2

Умножим $36$ на $0$ .

$0 + 24 (0) - 24$

Этап 9.1.3

Умножим $24$ на $0$ .

$0 + 0 - 24$

Этап 9.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 - 24$

Этап 9.2.2

Вычтем $24$ из $0$ .

$- 24$

Этап 10

$x = 0$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = 3 {(0)}^{4} + 4 {(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2} + 5$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 + 4 {(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2} + 5$

Этап 11.2.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 4 {(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2} + 5$

Этап 11.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + 4 \cdot 0 - 12 {(0)}^{2} + 5$

Этап 11.2.1.4

Умножим $4$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 12 {(0)}^{2} + 5$

Этап 11.2.1.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 12 \cdot 0 + 5$

Этап 11.2.1.6

Умножим $- 12$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 5$

Этап 11.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 5$

Этап 11.2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 + 5$

Этап 11.2.2.3

Добавим $0$ и $5$ .

$f (0) = 5$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $5$ .

$y = 5$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$36 {(1)}^{2} + 24 (1) - 24$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$36 \cdot 1 + 24 (1) - 24$

Этап 13.1.2

Умножим $36$ на $1$ .

$36 + 24 (1) - 24$

Этап 13.1.3

Умножим $24$ на $1$ .

$36 + 24 - 24$

Этап 13.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Добавим $36$ и $24$ .

$60 - 24$

Этап 13.2.2

Вычтем $24$ из $60$ .

$36$

Этап 14

$x = 1$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 1$ — локальный минимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = 3 {(1)}^{4} + 4 {(1)}^{3} - 12 {(1)}^{2} + 5$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 3 \cdot 1 + 4 {(1)}^{3} - 12 {(1)}^{2} + 5$

Этап 15.2.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$f (1) = 3 + 4 {(1)}^{3} - 12 {(1)}^{2} + 5$

Этап 15.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 3 + 4 \cdot 1 - 12 {(1)}^{2} + 5$

Этап 15.2.1.4

Умножим $4$ на $1$ .

$f (1) = 3 + 4 - 12 {(1)}^{2} + 5$

Этап 15.2.1.5

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 3 + 4 - 12 \cdot 1 + 5$

Этап 15.2.1.6

Умножим $- 12$ на $1$ .

$f (1) = 3 + 4 - 12 + 5$

Этап 15.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Добавим $3$ и $4$ .

$f (1) = 7 - 12 + 5$

Этап 15.2.2.2

Вычтем $12$ из $7$ .

$f (1) = - 5 + 5$

Этап 15.2.2.3

Добавим $- 5$ и $5$ .

$f (1) = 0$

Этап 15.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Этап 16

Найдем вторую производную в $x = - 2$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$36 {(- 2)}^{2} + 24 (- 2) - 24$

Этап 17

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$36 \cdot 4 + 24 (- 2) - 24$

Этап 17.1.2

Умножим $36$ на $4$ .

$144 + 24 (- 2) - 24$

Этап 17.1.3

Умножим $24$ на $- 2$ .

$144 - 48 - 24$

Этап 17.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Вычтем $48$ из $144$ .

$96 - 24$

Этап 17.2.2

Вычтем $24$ из $96$ .

$72$

Этап 18

$x = - 2$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 2$ — локальный минимум

Этап 19

Найдем значение y, если $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = 3 {(- 2)}^{4} + 4 {(- 2)}^{3} - 12 {(- 2)}^{2} + 5$

Этап 19.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$f (- 2) = 3 \cdot 16 + 4 {(- 2)}^{3} - 12 {(- 2)}^{2} + 5$

Этап 19.2.1.2

Умножим $3$ на $16$ .

$f (- 2) = 48 + 4 {(- 2)}^{3} - 12 {(- 2)}^{2} + 5$

Этап 19.2.1.3

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$f (- 2) = 48 + 4 \cdot - 8 - 12 {(- 2)}^{2} + 5$

Этап 19.2.1.4

Умножим $4$ на $- 8$ .

$f (- 2) = 48 - 32 - 12 {(- 2)}^{2} + 5$

Этап 19.2.1.5

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f (- 2) = 48 - 32 - 12 \cdot 4 + 5$

Этап 19.2.1.6

Умножим $- 12$ на $4$ .

$f (- 2) = 48 - 32 - 48 + 5$

Этап 19.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.2.1

Вычтем $32$ из $48$ .

$f (- 2) = 16 - 48 + 5$

Этап 19.2.2.2

Вычтем $48$ из $16$ .

$f (- 2) = - 32 + 5$

Этап 19.2.2.3

Добавим $- 32$ и $5$ .

$f (- 2) = - 27$

Этап 19.2.3

Окончательный ответ: $- 27$ .

$y = - 27$

Этап 20

Это локальные экстремумы $f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2} + 5$ .

$(0, 5)$ — локальный максимум

$(1, 0)$ — локальный минимум

$(- 2, - 27)$ — локальный минимум

Этап 21