Математический анализ Примеры

$f (x) = - x^{3} + 6 x^{2} - 10 x + 4$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $- x^{3} + 6 x^{2} - 10 x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{2}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 3 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $6$ .

$- 3 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 10$ является константой относительно $x$ , производная $- 10 x$ по $x$ равна $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x^{2} + 12 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 3 x^{2} + 12 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.4.3

Умножим $- 10$ на $1$ .

$- 3 x^{2} + 12 x - 10 + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 3 x^{2} + 12 x - 10 + 0$

Этап 1.5.2

Добавим $- 3 x^{2} + 12 x - 10$ и $0$ .

$- 3 x^{2} + 12 x - 10$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 3 x^{2} + 12 x - 10$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 10)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{2}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 10)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 10)$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 10)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 x + 12 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 10)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 10)$

Этап 2.3.3

Умножим $12$ на $1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 12 + \frac{d}{d x} (- 10)$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 10$ является константой относительно $x$ , производная $- 10$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 12 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $- 6 x + 12$ и $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 12$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 3 x^{2} + 12 x - 10 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{2}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 3 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $2$ на $6$ .

$- 3 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 10$ является константой относительно $x$ , производная $- 10 x$ по $x$ равна $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x^{2} + 12 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 3 x^{2} + 12 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.4.3

Умножим $- 10$ на $1$ .

$- 3 x^{2} + 12 x - 10 + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 3 x^{2} + 12 x - 10 + 0$

Этап 4.1.5.2

Добавим $- 3 x^{2} + 12 x - 10$ и $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 10$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 3 x^{2} + 12 x - 10$ .

$- 3 x^{2} + 12 x - 10$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 3 x^{2} + 12 x - 10 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 3 x^{2} + 12 x - 10 = 0$

Этап 5.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.3

Подставим значения $a = - 3$ , $b = 12$ и $c = - 10$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot - 10)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Возведем $12$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 3 \cdot - 10}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 3 \cdot - 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 3$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 12 \cdot - 10}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.4.1.2.2

Умножим $12$ на $- 10$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 120}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.4.1.3

Вычтем $120$ из $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.4.1.4

Перепишем $24$ в виде $2^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.4.2

Умножим $2$ на $- 3$ .

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{6}}{- 6}$

Этап 5.4.3

Упростим $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{6}}{- 6}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{6}}{3}$

Этап 5.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Возведем $12$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 3 \cdot - 10}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 3 \cdot - 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 3$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 12 \cdot - 10}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.5.1.2.2

Умножим $12$ на $- 10$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 120}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.5.1.3

Вычтем $120$ из $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.5.1.4

Перепишем $24$ в виде $2^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.5.2

Умножим $2$ на $- 3$ .

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{6}}{- 6}$

Этап 5.5.3

Упростим $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{6}}{- 6}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{6}}{3}$

Этап 5.5.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{6 + \sqrt{6}}{3}$

Этап 5.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

Возведем $12$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 3 \cdot - 10}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 3 \cdot - 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 3$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 12 \cdot - 10}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.6.1.2.2

Умножим $12$ на $- 10$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 120}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.6.1.3

Вычтем $120$ из $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.6.1.4

Перепишем $24$ в виде $2^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot - 3}$

Этап 5.6.2

Умножим $2$ на $- 3$ .

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{6}}{- 6}$

Этап 5.6.3

Упростим $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{6}}{- 6}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{6}}{3}$

Этап 5.6.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{6 - \sqrt{6}}{3}$

Этап 5.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{6 + \sqrt{6}}{3}, \frac{6 - \sqrt{6}}{3}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{6 + \sqrt{6}}{3}, \frac{6 - \sqrt{6}}{3}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \frac{6 + \sqrt{6}}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 6 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 12$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 6$ .

$3 (- 2) \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 12$

Этап 9.1.1.2

Сократим общий множитель.

$3 \cdot - 2 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 12$

Этап 9.1.1.3

Перепишем это выражение.

$- 2 (6 + \sqrt{6}) + 12$

Этап 9.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 \cdot 6 - 2 \sqrt{6} + 12$

Этап 9.1.3

Умножим $- 2$ на $6$ .

$- 12 - 2 \sqrt{6} + 12$

Этап 9.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $- 12$ и $12$ .

$0 - 2 \sqrt{6}$

Этап 9.2.2

Вычтем $2 \sqrt{6}$ из $0$ .

$- 2 \sqrt{6}$

Этап 10

$x = \frac{6 + \sqrt{6}}{3}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{6 + \sqrt{6}}{3}$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = \frac{6 + \sqrt{6}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{6 + \sqrt{6}}{3}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{3} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{6 + \sqrt{6}}{3}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{{(6 + \sqrt{6})}^{3}}{3^{3}} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 11.2.1.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{{(6 + \sqrt{6})}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 11.2.1.3

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{6^{3} + 3 \cdot (6^{2} \sqrt{6}) + 3 \cdot (6 {\sqrt{6}}^{2}) + {\sqrt{6}}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 11.2.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.1

Возведем $6$ в степень $3$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 3 \cdot (6^{2} \sqrt{6}) + 3 \cdot (6 {\sqrt{6}}^{2}) + {\sqrt{6}}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 11.2.1.4.2

Возведем $6$ в степень $2$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 3 \cdot (36 \sqrt{6}) + 3 \cdot (6 {\sqrt{6}}^{2}) + {\sqrt{6}}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 11.2.1.4.3

Умножим $3$ на $36$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 108 \sqrt{6} + 3 \cdot (6 {\sqrt{6}}^{2}) + {\sqrt{6}}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 11.2.1.4.4

Умножим $3$ на $6$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 108 \sqrt{6} + 18 {\sqrt{6}}^{2} + {\sqrt{6}}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 11.2.1.4.5

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 108 \sqrt{6} + 18 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{6}}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 11.2.1.4.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 108 \sqrt{6} + 18 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{6}}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 11.2.1.4.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 108 \sqrt{6} + 18 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{6}}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 11.2.1.4.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.5.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 108 \sqrt{6} + 18 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{6}}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 11.2.1.4.5.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 108 \sqrt{6} + 18 \cdot 6 + {\sqrt{6}}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 11.2.1.4.5.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 108 \sqrt{6} + 18 \cdot 6 + {\sqrt{6}}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 11.2.1.4.6

Умножим $18$ на $6$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 108 \sqrt{6} + 108 + {\sqrt{6}}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 11.2.1.4.7

Перепишем ${\sqrt{6}}^{3}$ в виде $\sqrt{6^{3}}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 108 \sqrt{6} + 108 + \sqrt{6^{3}}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 11.2.1.4.8

Возведем $6$ в степень $3$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 108 \sqrt{6} + 108 + \sqrt{216}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 11.2.1.4.9

Перепишем $216$ в виде $6^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.9.1

Вынесем множитель $36$ из $216$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 108 \sqrt{6} + 108 + \sqrt{36 (6)}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 11.2.1.4.9.2

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 108 \sqrt{6} + 108 + \sqrt{6^{2} \cdot 6}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 11.2.1.4.10

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 108 \sqrt{6} + 108 + 6 \sqrt{6}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 11.2.1.5

Добавим $216$ и $108$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{324 + 108 \sqrt{6} + 6 \sqrt{6}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 11.2.1.6

Добавим $108 \sqrt{6}$ и $6 \sqrt{6}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{324 + 114 \sqrt{6}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 11.2.1.7

Сократим общий множитель $324 + 114 \sqrt{6}$ и $27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.7.1

Вынесем множитель $3$ из $324$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{3 (108) + 114 \sqrt{6}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 11.2.1.7.2

Вынесем множитель $3$ из $114 \sqrt{6}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{3 (108) + 3 (38 \sqrt{6})}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 11.2.1.7.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (108) + 3 (38 \sqrt{6})$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{3 (108 + 38 \sqrt{6})}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 11.2.1.7.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.7.4.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{3 (108 + 38 \sqrt{6})}{3 \cdot 9} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 11.2.1.7.4.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{3 (108 + 38 \sqrt{6})}{3 \cdot 9} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 11.2.1.7.4.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 11.2.1.8

Применим правило умножения к $\frac{6 + \sqrt{6}}{3}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + 6 (\frac{{(6 + \sqrt{6})}^{2}}{3^{2}}) - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 11.2.1.9

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + 6 (\frac{{(6 + \sqrt{6})}^{2}}{9}) - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 11.2.1.10

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.10.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + 3 (2) (\frac{{(6 + \sqrt{6})}^{2}}{9}) - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 11.2.1.10.2

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + 3 \cdot (2 (\frac{{(6 + \sqrt{6})}^{2}}{3 \cdot 3})) - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 11.2.1.10.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + 3 \cdot (2 (\frac{{(6 + \sqrt{6})}^{2}}{3 \cdot 3})) - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 11.2.1.10.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + 2 (\frac{{(6 + \sqrt{6})}^{2}}{3}) - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 11.2.1.11

Объединим $2$ и $\frac{{(6 + \sqrt{6})}^{2}}{3}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 {(6 + \sqrt{6})}^{2}}{3} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 11.2.1.12

Перепишем ${(6 + \sqrt{6})}^{2}$ в виде $(6 + \sqrt{6}) (6 + \sqrt{6})$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 ((6 + \sqrt{6}) (6 + \sqrt{6}))}{3} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 11.2.1.13

Развернем $(6 + \sqrt{6}) (6 + \sqrt{6})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (6 (6 + \sqrt{6}) + \sqrt{6} (6 + \sqrt{6}))}{3} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 11.2.1.13.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (6 \cdot 6 + 6 \sqrt{6} + \sqrt{6} (6 + \sqrt{6}))}{3} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 11.2.1.13.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (6 \cdot 6 + 6 \sqrt{6} + \sqrt{6} \cdot 6 + \sqrt{6} \sqrt{6})}{3} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 11.2.1.14

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.14.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.14.1.1

Умножим $6$ на $6$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 + 6 \sqrt{6} + \sqrt{6} \cdot 6 + \sqrt{6} \sqrt{6})}{3} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 11.2.1.14.1.2

Перенесем $6$ влево от $\sqrt{6}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 + 6 \sqrt{6} + 6 \cdot \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{6})}{3} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 11.2.1.14.1.3

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 + 6 \sqrt{6} + 6 \sqrt{6} + \sqrt{6 \cdot 6})}{3} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 11.2.1.14.1.4

Умножим $6$ на $6$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 + 6 \sqrt{6} + 6 \sqrt{6} + \sqrt{36})}{3} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 11.2.1.14.1.5

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 + 6 \sqrt{6} + 6 \sqrt{6} + \sqrt{6^{2}})}{3} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 11.2.1.14.1.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 + 6 \sqrt{6} + 6 \sqrt{6} + 6)}{3} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 11.2.1.14.2

Добавим $36$ и $6$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (42 + 6 \sqrt{6} + 6 \sqrt{6})}{3} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 11.2.1.14.3

Добавим $6 \sqrt{6}$ и $6 \sqrt{6}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (42 + 12 \sqrt{6})}{3} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 11.2.1.15

Сократим общий множитель $42 + 12 \sqrt{6}$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.15.1

Вынесем множитель $3$ из $2 (42 + 12 \sqrt{6})$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{3 (2 (14 + 4 \sqrt{6}))}{3} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 11.2.1.15.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.15.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{3 (2 (14 + 4 \sqrt{6}))}{3 (1)} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 11.2.1.15.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{3 (2 (14 + 4 \sqrt{6}))}{3 \cdot 1} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 11.2.1.15.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (14 + 4 \sqrt{6})}{1} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 11.2.1.15.2.4

Разделим $2 (14 + 4 \sqrt{6})$ на $1$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + 2 (14 + 4 \sqrt{6}) - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 11.2.1.16

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + 2 \cdot 14 + 2 (4 \sqrt{6}) - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 11.2.1.17

Умножим $2$ на $14$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + 28 + 2 (4 \sqrt{6}) - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 11.2.1.18

Умножим $4$ на $2$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + 28 + 8 \sqrt{6} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 11.2.1.19

Объединим $- 10$ и $\frac{6 + \sqrt{6}}{3}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + 28 + 8 \sqrt{6} + \frac{- 10 (6 + \sqrt{6})}{3} + 4$

Этап 11.2.1.20

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + 28 + 8 \sqrt{6} - \frac{10 (6 + \sqrt{6})}{3} + 4$

Этап 11.2.2

Чтобы записать $28$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + 28 \cdot \frac{9}{9} + 8 \sqrt{6} - \frac{10 (6 + \sqrt{6})}{3} + 4$

Этап 11.2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Объединим $28$ и $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{28 \cdot 9}{9} + 8 \sqrt{6} - \frac{10 (6 + \sqrt{6})}{3} + 4$

Этап 11.2.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- (108 + 38 \sqrt{6}) + 28 \cdot 9}{9} + 8 \sqrt{6} - \frac{10 (6 + \sqrt{6})}{3} + 4$

Этап 11.2.3.2.2

Умножим $28$ на $9$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- (108 + 38 \sqrt{6}) + 252}{9} + 8 \sqrt{6} - \frac{10 (6 + \sqrt{6})}{3} + 4$

Этап 11.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 108 - (38 \sqrt{6}) + 252}{9} + 8 \sqrt{6} - \frac{10 (6 + \sqrt{6})}{3} + 4$

Этап 11.2.4.2

Умножим $- 1$ на $108$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- 108 - (38 \sqrt{6}) + 252}{9} + 8 \sqrt{6} - \frac{10 (6 + \sqrt{6})}{3} + 4$

Этап 11.2.4.3

Умножим $38$ на $- 1$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- 108 - 38 \sqrt{6} + 252}{9} + 8 \sqrt{6} - \frac{10 (6 + \sqrt{6})}{3} + 4$

Этап 11.2.4.4

Добавим $- 108$ и $252$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 - 38 \sqrt{6}}{9} + 8 \sqrt{6} - \frac{10 (6 + \sqrt{6})}{3} + 4$

Этап 11.2.5

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1

Запишем $8 \sqrt{6}$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{8 \sqrt{6}}{1} - \frac{10 (6 + \sqrt{6})}{3} + 4$

Этап 11.2.5.2

Умножим $\frac{8 \sqrt{6}}{1}$ на $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{8 \sqrt{6}}{1} \cdot \frac{9}{9} - \frac{10 (6 + \sqrt{6})}{3} + 4$

Этап 11.2.5.3

Умножим $\frac{8 \sqrt{6}}{1}$ на $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{8 \sqrt{6} \cdot 9}{9} - \frac{10 (6 + \sqrt{6})}{3} + 4$

Этап 11.2.5.4

Умножим $\frac{10 (6 + \sqrt{6})}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{8 \sqrt{6} \cdot 9}{9} - (\frac{10 (6 + \sqrt{6})}{3} \cdot \frac{3}{3}) + 4$

Этап 11.2.5.5

Умножим $\frac{10 (6 + \sqrt{6})}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{8 \sqrt{6} \cdot 9}{9} - \frac{10 (6 + \sqrt{6}) \cdot 3}{3 \cdot 3} + 4$

Этап 11.2.5.6

Запишем $4$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{8 \sqrt{6} \cdot 9}{9} - \frac{10 (6 + \sqrt{6}) \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{4}{1}$

Этап 11.2.5.7

Умножим $\frac{4}{1}$ на $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{8 \sqrt{6} \cdot 9}{9} - \frac{10 (6 + \sqrt{6}) \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{4}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Этап 11.2.5.8

Умножим $\frac{4}{1}$ на $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{8 \sqrt{6} \cdot 9}{9} - \frac{10 (6 + \sqrt{6}) \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{4 \cdot 9}{9}$

Этап 11.2.5.9

Умножим $3$ на $3$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{8 \sqrt{6} \cdot 9}{9} - \frac{10 (6 + \sqrt{6}) \cdot 3}{9} + \frac{4 \cdot 9}{9}$

Этап 11.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 - 38 \sqrt{6} + 8 \sqrt{6} \cdot 9 - 10 (6 + \sqrt{6}) \cdot 3 + 4 \cdot 9}{9}$

Этап 11.2.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.7.1

Умножим $9$ на $8$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 - 38 \sqrt{6} + 72 \sqrt{6} - 10 (6 + \sqrt{6}) \cdot 3 + 4 \cdot 9}{9}$

Этап 11.2.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 - 38 \sqrt{6} + 72 \sqrt{6} + (- 10 \cdot 6 - 10 \sqrt{6}) \cdot 3 + 4 \cdot 9}{9}$

Этап 11.2.7.3

Умножим $- 10$ на $6$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 - 38 \sqrt{6} + 72 \sqrt{6} + (- 60 - 10 \sqrt{6}) \cdot 3 + 4 \cdot 9}{9}$

Этап 11.2.7.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 - 38 \sqrt{6} + 72 \sqrt{6} - 60 \cdot 3 - 10 \sqrt{6} \cdot 3 + 4 \cdot 9}{9}$

Этап 11.2.7.5

Умножим $- 60$ на $3$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 - 38 \sqrt{6} + 72 \sqrt{6} - 180 - 10 \sqrt{6} \cdot 3 + 4 \cdot 9}{9}$

Этап 11.2.7.6

Умножим $3$ на $- 10$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 - 38 \sqrt{6} + 72 \sqrt{6} - 180 - 30 \sqrt{6} + 4 \cdot 9}{9}$

Этап 11.2.7.7

Умножим $4$ на $9$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 - 38 \sqrt{6} + 72 \sqrt{6} - 180 - 30 \sqrt{6} + 36}{9}$

Этап 11.2.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.8.1

Вычтем $180$ из $144$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- 36 - 38 \sqrt{6} + 72 \sqrt{6} - 30 \sqrt{6} + 36}{9}$

Этап 11.2.8.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.8.2.1

Добавим $- 36$ и $36$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{0 - 38 \sqrt{6} + 72 \sqrt{6} - 30 \sqrt{6}}{9}$

Этап 11.2.8.2.2

Вычтем $38 \sqrt{6}$ из $0$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- 38 \sqrt{6} + 72 \sqrt{6} - 30 \sqrt{6}}{9}$

Этап 11.2.8.3

Добавим $- 38 \sqrt{6}$ и $72 \sqrt{6}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{34 \sqrt{6} - 30 \sqrt{6}}{9}$

Этап 11.2.8.4

Вычтем $30 \sqrt{6}$ из $34 \sqrt{6}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{4 \sqrt{6}}{9}$

Этап 11.2.9

Окончательный ответ: $\frac{4 \sqrt{6}}{9}$ .

$y = \frac{4 \sqrt{6}}{9}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = \frac{6 - \sqrt{6}}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 6 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 12$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 6$ .

$3 (- 2) \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 12$

Этап 13.1.1.2

Сократим общий множитель.

$3 \cdot - 2 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 12$

Этап 13.1.1.3

Перепишем это выражение.

$- 2 (6 - \sqrt{6}) + 12$

Этап 13.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 \cdot 6 - 2 (- \sqrt{6}) + 12$

Этап 13.1.3

Умножим $- 2$ на $6$ .

$- 12 - 2 (- \sqrt{6}) + 12$

Этап 13.1.4

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$- 12 + 2 \sqrt{6} + 12$

Этап 13.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Добавим $- 12$ и $12$ .

$0 + 2 \sqrt{6}$

Этап 13.2.2

Добавим $0$ и $2 \sqrt{6}$ .

$2 \sqrt{6}$

Этап 14

$x = \frac{6 - \sqrt{6}}{3}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{6 - \sqrt{6}}{3}$ — локальный минимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = \frac{6 - \sqrt{6}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{6 - \sqrt{6}}{3}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{3} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{6 - \sqrt{6}}{3}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{{(6 - \sqrt{6})}^{3}}{3^{3}} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{{(6 - \sqrt{6})}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.3

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{6^{3} + 3 \cdot (6^{2} (- \sqrt{6})) + 3 \cdot (6 {(- \sqrt{6})}^{2}) + {(- \sqrt{6})}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.4.1

Возведем $6$ в степень $3$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 3 \cdot (6^{2} (- \sqrt{6})) + 3 \cdot (6 {(- \sqrt{6})}^{2}) + {(- \sqrt{6})}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.4.2

Возведем $6$ в степень $2$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 3 \cdot (36 (- \sqrt{6})) + 3 \cdot (6 {(- \sqrt{6})}^{2}) + {(- \sqrt{6})}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.4.3

Умножим $3$ на $36$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 108 (- \sqrt{6}) + 3 \cdot (6 {(- \sqrt{6})}^{2}) + {(- \sqrt{6})}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.4.4

Умножим $- 1$ на $108$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 3 \cdot (6 {(- \sqrt{6})}^{2}) + {(- \sqrt{6})}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.4.5

Умножим $3$ на $6$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 18 {(- \sqrt{6})}^{2} + {(- \sqrt{6})}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.4.6

Применим правило умножения к $- \sqrt{6}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 18 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{6}}^{2}) + {(- \sqrt{6})}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.4.7

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 18 (1 {\sqrt{6}}^{2}) + {(- \sqrt{6})}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.4.8

Умножим ${\sqrt{6}}^{2}$ на $1$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 18 {\sqrt{6}}^{2} + {(- \sqrt{6})}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.4.9

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.4.9.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 18 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{6})}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.4.9.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 18 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{6})}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.4.9.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 18 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{6})}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.4.9.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.4.9.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 18 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{6})}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.4.9.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 18 \cdot 6 + {(- \sqrt{6})}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.4.9.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 18 \cdot 6 + {(- \sqrt{6})}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.4.10

Умножим $18$ на $6$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 108 + {(- \sqrt{6})}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.4.11

Применим правило умножения к $- \sqrt{6}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 108 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{6}}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.4.12

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 108 - {\sqrt{6}}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.4.13

Перепишем ${\sqrt{6}}^{3}$ в виде $\sqrt{6^{3}}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 108 - \sqrt{6^{3}}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.4.14

Возведем $6$ в степень $3$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 108 - \sqrt{216}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.4.15

Перепишем $216$ в виде $6^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.4.15.1

Вынесем множитель $36$ из $216$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 108 - \sqrt{36 (6)}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.4.15.2

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 108 - \sqrt{6^{2} \cdot 6}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.4.16

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 108 - (6 \sqrt{6})}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.4.17

Умножим $6$ на $- 1$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 108 - 6 \sqrt{6}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.5

Добавим $216$ и $108$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{324 - 108 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.6

Вычтем $6 \sqrt{6}$ из $- 108 \sqrt{6}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{324 - 114 \sqrt{6}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.7

Сократим общий множитель $324 - 114 \sqrt{6}$ и $27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.7.1

Вынесем множитель $3$ из $324$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{3 (108) - 114 \sqrt{6}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.7.2

Вынесем множитель $3$ из $- 114 \sqrt{6}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{3 (108) + 3 (- 38 \sqrt{6})}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.7.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (108) + 3 (- 38 \sqrt{6})$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{3 (108 - 38 \sqrt{6})}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.7.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.7.4.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{3 (108 - 38 \sqrt{6})}{3 \cdot 9} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.7.4.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{3 (108 - 38 \sqrt{6})}{3 \cdot 9} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.7.4.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.8

Применим правило умножения к $\frac{6 - \sqrt{6}}{3}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + 6 (\frac{{(6 - \sqrt{6})}^{2}}{3^{2}}) - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.9

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + 6 (\frac{{(6 - \sqrt{6})}^{2}}{9}) - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.10

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.10.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + 3 (2) (\frac{{(6 - \sqrt{6})}^{2}}{9}) - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.10.2

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + 3 \cdot (2 (\frac{{(6 - \sqrt{6})}^{2}}{3 \cdot 3})) - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.10.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + 3 \cdot (2 (\frac{{(6 - \sqrt{6})}^{2}}{3 \cdot 3})) - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.10.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + 2 (\frac{{(6 - \sqrt{6})}^{2}}{3}) - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.11

Объединим $2$ и $\frac{{(6 - \sqrt{6})}^{2}}{3}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 {(6 - \sqrt{6})}^{2}}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.12

Перепишем ${(6 - \sqrt{6})}^{2}$ в виде $(6 - \sqrt{6}) (6 - \sqrt{6})$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 ((6 - \sqrt{6}) (6 - \sqrt{6}))}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.13

Развернем $(6 - \sqrt{6}) (6 - \sqrt{6})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (6 (6 - \sqrt{6}) - \sqrt{6} (6 - \sqrt{6}))}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.13.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (6 \cdot 6 + 6 (- \sqrt{6}) - \sqrt{6} (6 - \sqrt{6}))}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.13.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (6 \cdot 6 + 6 (- \sqrt{6}) - \sqrt{6} \cdot 6 - \sqrt{6} (- \sqrt{6}))}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.14

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.14.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.14.1.1

Умножим $6$ на $6$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 + 6 (- \sqrt{6}) - \sqrt{6} \cdot 6 - \sqrt{6} (- \sqrt{6}))}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.14.1.2

Умножим $- 1$ на $6$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 - 6 \sqrt{6} - \sqrt{6} \cdot 6 - \sqrt{6} (- \sqrt{6}))}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.14.1.3

Умножим $6$ на $- 1$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} - \sqrt{6} (- \sqrt{6}))}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.14.1.4

Умножим $- \sqrt{6} (- \sqrt{6})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.14.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + 1 \sqrt{6} \sqrt{6})}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.14.1.4.2

Умножим $\sqrt{6}$ на $1$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{6})}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.14.1.4.3

Возведем $\sqrt{6}$ в степень $1$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{6})}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.14.1.4.4

Возведем $\sqrt{6}$ в степень $1$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{6})}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.14.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + {\sqrt{6}}^{1 + 1})}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.14.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + {\sqrt{6}}^{2})}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.14.1.5

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.14.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + {(6^{\frac{1}{2}})}^{2})}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.14.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + 6^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.14.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + 6^{\frac{2}{2}})}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.14.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.14.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + 6^{\frac{2}{2}})}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.14.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + 6)}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.14.1.5.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + 6)}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.14.2

Добавим $36$ и $6$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (42 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6})}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.14.3

Вычтем $6 \sqrt{6}$ из $- 6 \sqrt{6}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (42 - 12 \sqrt{6})}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.15

Сократим общий множитель $42 - 12 \sqrt{6}$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.15.1

Вынесем множитель $3$ из $2 (42 - 12 \sqrt{6})$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{3 (2 (14 - 4 \sqrt{6}))}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.15.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.15.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{3 (2 (14 - 4 \sqrt{6}))}{3 (1)} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.15.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{3 (2 (14 - 4 \sqrt{6}))}{3 \cdot 1} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.15.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (14 - 4 \sqrt{6})}{1} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.15.2.4

Разделим $2 (14 - 4 \sqrt{6})$ на $1$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + 2 (14 - 4 \sqrt{6}) - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.16

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + 2 \cdot 14 + 2 (- 4 \sqrt{6}) - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.17

Умножим $2$ на $14$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + 28 + 2 (- 4 \sqrt{6}) - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.18

Умножим $- 4$ на $2$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + 28 - 8 \sqrt{6} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Этап 15.2.1.19

Объединим $- 10$ и $\frac{6 - \sqrt{6}}{3}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + 28 - 8 \sqrt{6} + \frac{- 10 (6 - \sqrt{6})}{3} + 4$

Этап 15.2.1.20

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + 28 - 8 \sqrt{6} - \frac{10 (6 - \sqrt{6})}{3} + 4$

Этап 15.2.2

Чтобы записать $28$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + 28 \cdot \frac{9}{9} - 8 \sqrt{6} - \frac{10 (6 - \sqrt{6})}{3} + 4$

Этап 15.2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.3.1

Объединим $28$ и $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{28 \cdot 9}{9} - 8 \sqrt{6} - \frac{10 (6 - \sqrt{6})}{3} + 4$

Этап 15.2.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- (108 - 38 \sqrt{6}) + 28 \cdot 9}{9} - 8 \sqrt{6} - \frac{10 (6 - \sqrt{6})}{3} + 4$

Этап 15.2.3.2.2

Умножим $28$ на $9$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- (108 - 38 \sqrt{6}) + 252}{9} - 8 \sqrt{6} - \frac{10 (6 - \sqrt{6})}{3} + 4$

Этап 15.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 108 - (- 38 \sqrt{6}) + 252}{9} - 8 \sqrt{6} - \frac{10 (6 - \sqrt{6})}{3} + 4$

Этап 15.2.4.2

Умножим $- 1$ на $108$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- 108 - (- 38 \sqrt{6}) + 252}{9} - 8 \sqrt{6} - \frac{10 (6 - \sqrt{6})}{3} + 4$

Этап 15.2.4.3

Умножим $- 38$ на $- 1$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- 108 + 38 \sqrt{6} + 252}{9} - 8 \sqrt{6} - \frac{10 (6 - \sqrt{6})}{3} + 4$

Этап 15.2.4.4

Добавим $- 108$ и $252$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6}}{9} - 8 \sqrt{6} - \frac{10 (6 - \sqrt{6})}{3} + 4$

Этап 15.2.5

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.5.1

Запишем $- 8 \sqrt{6}$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{- 8 \sqrt{6}}{1} - \frac{10 (6 - \sqrt{6})}{3} + 4$

Этап 15.2.5.2

Умножим $\frac{- 8 \sqrt{6}}{1}$ на $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{- 8 \sqrt{6}}{1} \cdot \frac{9}{9} - \frac{10 (6 - \sqrt{6})}{3} + 4$

Этап 15.2.5.3

Умножим $\frac{- 8 \sqrt{6}}{1}$ на $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{- 8 \sqrt{6} \cdot 9}{9} - \frac{10 (6 - \sqrt{6})}{3} + 4$

Этап 15.2.5.4

Умножим $\frac{10 (6 - \sqrt{6})}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{- 8 \sqrt{6} \cdot 9}{9} - (\frac{10 (6 - \sqrt{6})}{3} \cdot \frac{3}{3}) + 4$

Этап 15.2.5.5

Умножим $\frac{10 (6 - \sqrt{6})}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{- 8 \sqrt{6} \cdot 9}{9} - \frac{10 (6 - \sqrt{6}) \cdot 3}{3 \cdot 3} + 4$

Этап 15.2.5.6

Запишем $4$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{- 8 \sqrt{6} \cdot 9}{9} - \frac{10 (6 - \sqrt{6}) \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{4}{1}$

Этап 15.2.5.7

Умножим $\frac{4}{1}$ на $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{- 8 \sqrt{6} \cdot 9}{9} - \frac{10 (6 - \sqrt{6}) \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{4}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Этап 15.2.5.8

Умножим $\frac{4}{1}$ на $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{- 8 \sqrt{6} \cdot 9}{9} - \frac{10 (6 - \sqrt{6}) \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{4 \cdot 9}{9}$

Этап 15.2.5.9

Умножим $3$ на $3$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{- 8 \sqrt{6} \cdot 9}{9} - \frac{10 (6 - \sqrt{6}) \cdot 3}{9} + \frac{4 \cdot 9}{9}$

Этап 15.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6} - 8 \sqrt{6} \cdot 9 - 10 (6 - \sqrt{6}) \cdot 3 + 4 \cdot 9}{9}$

Этап 15.2.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.7.1

Умножим $9$ на $- 8$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6} - 72 \sqrt{6} - 10 (6 - \sqrt{6}) \cdot 3 + 4 \cdot 9}{9}$

Этап 15.2.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6} - 72 \sqrt{6} + (- 10 \cdot 6 - 10 (- \sqrt{6})) \cdot 3 + 4 \cdot 9}{9}$

Этап 15.2.7.3

Умножим $- 10$ на $6$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6} - 72 \sqrt{6} + (- 60 - 10 (- \sqrt{6})) \cdot 3 + 4 \cdot 9}{9}$

Этап 15.2.7.4

Умножим $- 1$ на $- 10$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6} - 72 \sqrt{6} + (- 60 + 10 \sqrt{6}) \cdot 3 + 4 \cdot 9}{9}$

Этап 15.2.7.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6} - 72 \sqrt{6} - 60 \cdot 3 + 10 \sqrt{6} \cdot 3 + 4 \cdot 9}{9}$

Этап 15.2.7.6

Умножим $- 60$ на $3$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6} - 72 \sqrt{6} - 180 + 10 \sqrt{6} \cdot 3 + 4 \cdot 9}{9}$

Этап 15.2.7.7

Умножим $3$ на $10$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6} - 72 \sqrt{6} - 180 + 30 \sqrt{6} + 4 \cdot 9}{9}$

Этап 15.2.7.8

Умножим $4$ на $9$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6} - 72 \sqrt{6} - 180 + 30 \sqrt{6} + 36}{9}$

Этап 15.2.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.8.1

Вычтем $180$ из $144$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- 36 + 38 \sqrt{6} - 72 \sqrt{6} + 30 \sqrt{6} + 36}{9}$

Этап 15.2.8.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.8.2.1

Добавим $- 36$ и $36$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{0 + 38 \sqrt{6} - 72 \sqrt{6} + 30 \sqrt{6}}{9}$

Этап 15.2.8.2.2

Добавим $0$ и $38 \sqrt{6}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{38 \sqrt{6} - 72 \sqrt{6} + 30 \sqrt{6}}{9}$

Этап 15.2.8.3

Вычтем $72 \sqrt{6}$ из $38 \sqrt{6}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- 34 \sqrt{6} + 30 \sqrt{6}}{9}$

Этап 15.2.8.4

Добавим $- 34 \sqrt{6}$ и $30 \sqrt{6}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- 4 \sqrt{6}}{9}$

Этап 15.2.8.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{4 \sqrt{6}}{9}$

Этап 15.2.9

Окончательный ответ: $- \frac{4 \sqrt{6}}{9}$ .

$y = - \frac{4 \sqrt{6}}{9}$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = - x^{3} + 6 x^{2} - 10 x + 4$ .

$(\frac{6 + \sqrt{6}}{3}, \frac{4 \sqrt{6}}{9})$ — локальный максимум

$(\frac{6 - \sqrt{6}}{3}, - \frac{4 \sqrt{6}}{9})$ — локальный минимум

Этап 17