Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{2} + \frac{240}{x}$ ; $(0, \infty)$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} + \frac{240}{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{240}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{240}{x}]$

Этап 1.1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [\frac{240}{x}]$

Этап 1.1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{240}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Поскольку $240$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{240}{x}$ по $x$ равна $240 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 x + 240 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 1.1.1.2.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$2 x + 240 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 1.1.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$2 x + 240 (- x^{- 2})$

Этап 1.1.1.2.4

Умножим $- 1$ на $240$ .

$2 x - 240 x^{- 2}$

Этап 1.1.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x - 240 \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.1.1.3.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.1

Объединим $- 240$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x + \frac{- 240}{x^{2}}$

Этап 1.1.1.3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = 2 x - \frac{240}{x^{2}}$

Этап 1.1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $2 x - \frac{240}{x^{2}}$ .

$2 x - \frac{240}{x^{2}}$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $2 x - \frac{240}{x^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$2 x - \frac{240}{x^{2}} = 0$

Этап 1.2.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, x^{2}, 1$

Этап 1.2.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x^{2}$

Этап 1.2.3

Каждый член в $2 x - \frac{240}{x^{2}} = 0$ умножим на $x^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Умножим каждый член $2 x - \frac{240}{x^{2}} = 0$ на $x^{2}$ .

$2 x \cdot x^{2} - \frac{240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Этап 1.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) - \frac{240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Этап 1.2.3.2.1.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 (x^{2} x^{1}) - \frac{240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Этап 1.2.3.2.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{2 + 1} - \frac{240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Этап 1.2.3.2.1.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$2 x^{3} - \frac{240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{240}{x^{2}}$ в числитель.

$2 x^{3} + \frac{- 240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Этап 1.2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$2 x^{3} + \frac{- 240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Этап 1.2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$2 x^{3} - 240 = 0 x^{2}$

Этап 1.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Умножим $0$ на $x^{2}$ .

$2 x^{3} - 240 = 0$

Этап 1.2.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Добавим $240$ к обеим частям уравнения.

$2 x^{3} = 240$

Этап 1.2.4.2

Вычтем $240$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{3} - 240 = 0$

Этап 1.2.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3} - 240$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3}$ .

$2 (x^{3}) - 240 = 0$

Этап 1.2.4.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 240$ .

$2 x^{3} + 2 \cdot - 120 = 0$

Этап 1.2.4.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3} + 2 \cdot - 120$ .

$2 (x^{3} - 120) = 0$

Этап 1.2.4.4

Разделим каждый член $2 (x^{3} - 120) = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.4.1

Разделим каждый член $2 (x^{3} - 120) = 0$ на $2$ .

$\frac{2 (x^{3} - 120)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 1.2.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (x^{3} - 120)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 1.2.4.4.2.1.2

Разделим $x^{3} - 120$ на $1$ .

$x^{3} - 120 = \frac{0}{2}$

Этап 1.2.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.4.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x^{3} - 120 = 0$

Этап 1.2.4.5

Добавим $120$ к обеим частям уравнения.

$x^{3} = 120$

Этап 1.2.4.6

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \sqrt[3]{120}$

Этап 1.2.4.7

Упростим $\sqrt[3]{120}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.7.1

Перепишем $120$ в виде $2^{3} \cdot 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.7.1.1

Вынесем множитель $8$ из $120$ .

$x = \sqrt[3]{8 (15)}$

Этап 1.2.4.7.1.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{2^{3} \cdot 15}$

Этап 1.2.4.7.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = 2 \sqrt[3]{15}$

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Зададим знаменатель в $\frac{240}{x^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} = 0$

Этап 1.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 1.3.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 1.3.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 1.3.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 1.4

Вычислим $x^{2} + \frac{240}{x}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем значение в $x = 2 \sqrt[3]{15}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Подставим $2 \sqrt[3]{15}$ вместо $x$ .

${(2 \sqrt[3]{15})}^{2} + \frac{240}{2 \sqrt[3]{15}}$

Этап 1.4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1.1

Применим правило умножения к $2 \sqrt[3]{15}$ .

$2^{2} {\sqrt[3]{15}}^{2} + \frac{240}{2 \sqrt[3]{15}}$

Этап 1.4.1.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {\sqrt[3]{15}}^{2} + \frac{240}{2 \sqrt[3]{15}}$

Этап 1.4.1.2.1.3

Перепишем ${\sqrt[3]{15}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{15^{2}}$ .

$4 \sqrt[3]{15^{2}} + \frac{240}{2 \sqrt[3]{15}}$

Этап 1.4.1.2.1.4

Возведем $15$ в степень $2$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{240}{2 \sqrt[3]{15}}$

Этап 1.4.1.2.1.5

Сократим общий множитель $240$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $240$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{2 \cdot 120}{2 \sqrt[3]{15}}$

Этап 1.4.1.2.1.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt[3]{15}$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{2 \cdot 120}{2 (\sqrt[3]{15})}$

Этап 1.4.1.2.1.5.2.2

Сократим общий множитель.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{2 \cdot 120}{2 \sqrt[3]{15}}$

Этап 1.4.1.2.1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120}{\sqrt[3]{15}}$

Этап 1.4.1.2.1.6

Умножим $\frac{120}{\sqrt[3]{15}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{15}}^{2}}{{\sqrt[3]{15}}^{2}}$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120}{\sqrt[3]{15}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{15}}^{2}}{{\sqrt[3]{15}}^{2}}$

Этап 1.4.1.2.1.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1.7.1

Умножим $\frac{120}{\sqrt[3]{15}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{15}}^{2}}{{\sqrt[3]{15}}^{2}}$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{\sqrt[3]{15} {\sqrt[3]{15}}^{2}}$

Этап 1.4.1.2.1.7.2

Возведем $\sqrt[3]{15}$ в степень $1$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{{\sqrt[3]{15}}^{1} {\sqrt[3]{15}}^{2}}$

Этап 1.4.1.2.1.7.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{{\sqrt[3]{15}}^{1 + 2}}$

Этап 1.4.1.2.1.7.4

Добавим $1$ и $2$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{{\sqrt[3]{15}}^{3}}$

Этап 1.4.1.2.1.7.5

Перепишем ${\sqrt[3]{15}}^{3}$ в виде $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1.7.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{15}$ в виде $15^{\frac{1}{3}}$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{{(15^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 1.4.1.2.1.7.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{15^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 1.4.1.2.1.7.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{15^{\frac{3}{3}}}$

Этап 1.4.1.2.1.7.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1.7.5.4.1

Сократим общий множитель.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{15^{\frac{3}{3}}}$

Этап 1.4.1.2.1.7.5.4.2

Перепишем это выражение.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{15^{1}}$

Этап 1.4.1.2.1.7.5.5

Найдем экспоненту.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{15}$

Этап 1.4.1.2.1.8

Сократим общий множитель $120$ и $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1.8.1

Вынесем множитель $15$ из $120 {\sqrt[3]{15}}^{2}$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{15 (8 {\sqrt[3]{15}}^{2})}{15}$

Этап 1.4.1.2.1.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1.8.2.1

Вынесем множитель $15$ из $15$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{15 (8 {\sqrt[3]{15}}^{2})}{15 (1)}$

Этап 1.4.1.2.1.8.2.2

Сократим общий множитель.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{15 (8 {\sqrt[3]{15}}^{2})}{15 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.2.1.8.2.3

Перепишем это выражение.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{8 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{1}$

Этап 1.4.1.2.1.8.2.4

Разделим $8 {\sqrt[3]{15}}^{2}$ на $1$ .

$4 \sqrt[3]{225} + 8 {\sqrt[3]{15}}^{2}$

Этап 1.4.1.2.1.9

Перепишем ${\sqrt[3]{15}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{15^{2}}$ .

$4 \sqrt[3]{225} + 8 \sqrt[3]{15^{2}}$

Этап 1.4.1.2.1.10

Возведем $15$ в степень $2$ .

$4 \sqrt[3]{225} + 8 \sqrt[3]{225}$

Этап 1.4.1.2.2

Добавим $4 \sqrt[3]{225}$ и $8 \sqrt[3]{225}$ .

$12 \sqrt[3]{225}$

Этап 1.4.2

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

${(0)}^{2} + \frac{240}{0}$

Этап 1.4.2.2

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 1.4.3

Перечислим все точки.

$(2 \sqrt[3]{15}, 12 \sqrt[3]{225})$

Этап 2

Определим точки возможного максимума или минимума с помощью первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 2 \sqrt[3]{15}) \cup (2 \sqrt[3]{15}, \infty)$

Этап 2.2

Подставим любое число такое, что $- 2$ , из интервала $(- \infty, 2 \sqrt[3]{15})$ в первую производную $2 x - \frac{240}{x^{2}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = 2 (- 2) - \frac{240}{{(- 2)}^{2}}$

Этап 2.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = - 4 - \frac{240}{{(- 2)}^{2}}$

Этап 2.2.2.1.2

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f' (- 2) = - 4 - \frac{240}{4}$

Этап 2.2.2.1.3

Разделим $240$ на $4$ .

$f' (- 2) = - 4 - 1 \cdot 60$

Этап 2.2.2.1.4

Умножим $- 1$ на $60$ .

$f' (- 2) = - 4 - 60$

Этап 2.2.2.2

Вычтем $60$ из $- 4$ .

$f' (- 2) = - 64$

Этап 2.2.2.3

Окончательный ответ: $- 64$ .

$- 64$

Этап 2.3

Подставим любое число такое, что $7$ , из интервала $(2 \sqrt[3]{15}, \infty)$ в первую производную $2 x - \frac{240}{x^{2}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $7$ .

$f' (7) = 2 (7) - \frac{240}{{(7)}^{2}}$

Этап 2.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Умножим $2$ на $7$ .

$f' (7) = 14 - \frac{240}{{(7)}^{2}}$

Этап 2.3.2.1.2

Возведем $7$ в степень $2$ .

$f' (7) = 14 - \frac{240}{49}$

Этап 2.3.2.2

Чтобы записать $14$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{49}{49}$ .

$f' (7) = 14 \cdot \frac{49}{49} - \frac{240}{49}$

Этап 2.3.2.3

Объединим $14$ и $\frac{49}{49}$ .

$f' (7) = \frac{14 \cdot 49}{49} - \frac{240}{49}$

Этап 2.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (7) = \frac{14 \cdot 49 - 240}{49}$

Этап 2.3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.5.1

Умножим $14$ на $49$ .

$f' (7) = \frac{686 - 240}{49}$

Этап 2.3.2.5.2

Вычтем $240$ из $686$ .

$f' (7) = \frac{446}{49}$

Этап 2.3.2.6

Окончательный ответ: $\frac{446}{49}$ .

$\frac{446}{49}$

Этап 2.4

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = 2 \sqrt[3]{15}$ , $x = 2 \sqrt[3]{15}$ — локальный минимум.

$x = 2 \sqrt[3]{15}$ — локальный минимум

Этап 3

Сравним значения $f (x)$ , найденные для каждого значения $x$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $f (x)$ , а минимум — при наименьшем значении $f (x)$ .

Нет абсолютного максимума

Абсолютный минимум: $(2 \sqrt[3]{15}, 12 \sqrt[3]{225})$

Этап 4