Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt[3]{x + 4}$ ; $[- 4, 4]$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x + 4}$ в виде ${(x + 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{\frac{1}{3}})$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ и $g (x) = x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 4$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x + 4)$

Этап 1.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 4)$

Этап 1.1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x + 4)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 4)$

Этап 1.1.1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x + 4)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

Этап 1.1.1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x + 4)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

Этап 1.1.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

Этап 1.1.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x + 4)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

Этап 1.1.1.6.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x + 4)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

Этап 1.1.1.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x + 4)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

Этап 1.1.1.7.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и ${(x + 4)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{{(x + 4)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x + 4)$

Этап 1.1.1.7.3

Перенесем ${(x + 4)}^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 4)$

Этап 1.1.1.8

По правилу суммы производная $x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4))$

Этап 1.1.1.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (4))$

Этап 1.1.1.10

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (1 + 0)$

Этап 1.1.1.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.11.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

Этап 1.1.1.11.2

Умножим $\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}}$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Этап 1.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$1 = 0$

Этап 1.2.3

Поскольку $1 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{1}{3 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}}}$

Этап 1.3.2

Зададим знаменатель в $\frac{1}{3 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$3 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}} = 0$

Этап 1.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${(3 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 1.3.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}}$ в виде ${(x + 4)}^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 1.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.2.1

Упростим ${(3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.2.1.1

Применим правило умножения к $3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {({(x + 4)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 1.3.3.2.2.1.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 {({(x + 4)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 1.3.3.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(x + 4)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x + 4)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 1.3.3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$27 {(x + 4)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 1.3.3.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$27 {(x + 4)}^{2} = 0^{3}$

Этап 1.3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$27 {(x + 4)}^{2} = 0$

Этап 1.3.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.1

Разделим каждый член $27 {(x + 4)}^{2} = 0$ на $27$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.1.1

Разделим каждый член $27 {(x + 4)}^{2} = 0$ на $27$ .

$\frac{27 {(x + 4)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Этап 1.3.3.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.1.2.1

Сократим общий множитель $27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{27 {(x + 4)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Этап 1.3.3.3.1.2.1.2

Разделим ${(x + 4)}^{2}$ на $1$ .

${(x + 4)}^{2} = \frac{0}{27}$

Этап 1.3.3.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.1.3.1

Разделим $0$ на $27$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

Этап 1.3.3.3.2

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 1.3.3.3.3

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 1.4

Вычислим $\sqrt[3]{x + 4}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем значение в $x = - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Подставим $- 4$ вместо $x$ .

$\sqrt[3]{(- 4) + 4}$

Этап 1.4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Добавим $- 4$ и $4$ .

$\sqrt[3]{0}$

Этап 1.4.1.2.2

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$\sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 1.4.1.2.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$0$

Этап 1.4.2

Перечислим все точки.

$(- 4, 0)$

Этап 2

Вычислим на включенных конечных точках.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение в $x = - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Подставим $- 4$ вместо $x$ .

$\sqrt[3]{(- 4) + 4}$

Этап 2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Добавим $- 4$ и $4$ .

$\sqrt[3]{0}$

Этап 2.1.2.2

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$\sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 2.1.2.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$0$

Этап 2.2

Найдем значение в $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Подставим $4$ вместо $x$ .

$\sqrt[3]{(4) + 4}$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Добавим $4$ и $4$ .

$\sqrt[3]{8}$

Этап 2.2.2.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\sqrt[3]{2^{3}}$

Этап 2.2.2.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$2$

Этап 2.3

Перечислим все точки.

$(- 4, 0), (4, 2)$

Этап 3

Сравним значения $f (x)$ , найденные для каждого значения $x$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $f (x)$ , а минимум — при наименьшем значении $f (x)$ .

Абсолютный максимум: $(4, 2)$

Абсолютный минимум: $(- 4, 0)$

Этап 4