Математический анализ Примеры

$f (x) = | x | + 2 | 1 - x |$ , $[- 2, 2]$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $| x | + 2 | 1 - x |$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [| x |] + \frac{d}{d x} [2 | 1 - x |]$ .

$\frac{d}{d x} [| x |] + \frac{d}{d x} [2 | 1 - x |]$

Этап 1.1.1.2

Производная $| x |$ по $x$ равна $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{x}{| x |} + \frac{d}{d x} [2 | 1 - x |]$

Этап 1.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 | 1 - x |]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 | 1 - x |$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [| 1 - x |]$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 \frac{d}{d x} [| 1 - x |]$

Этап 1.1.1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = | x |$ и $g (x) = 1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 - x$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [1 - x])$

Этап 1.1.1.3.2.2

Производная $| u |$ по $u$ равна $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Этап 1.1.1.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 - x$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Этап 1.1.1.3.3

По правилу суммы производная $1 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]))$

Этап 1.1.1.3.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} (0 + \frac{d}{d x} [- x]))$

Этап 1.1.1.3.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} (0 - \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 1.1.1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} (0 - 1 \cdot 1))$

Этап 1.1.1.3.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} (0 - 1))$

Этап 1.1.1.3.8

Вычтем $1$ из $0$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} \cdot - 1)$

Этап 1.1.1.3.9

Объединим $\frac{1 - x}{| 1 - x |}$ и $- 1$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 \frac{(1 - x) \cdot - 1}{| 1 - x |}$

Этап 1.1.1.3.10

Перенесем $- 1$ влево от $1 - x$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 \frac{- 1 \cdot (1 - x)}{| 1 - x |}$

Этап 1.1.1.3.11

Перепишем $- 1 (1 - x)$ в виде $- (1 - x)$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 \frac{- (1 - x)}{| 1 - x |}$

Этап 1.1.1.3.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{x}{| x |} + 2 (- \frac{1 - x}{| 1 - x |})$

Этап 1.1.1.3.13

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{x}{| x |} - 2 \frac{1 - x}{| 1 - x |}$

Этап 1.1.1.3.14

Объединим $- 2$ и $\frac{1 - x}{| 1 - x |}$ .

$\frac{x}{| x |} + \frac{- 2 (1 - x)}{| 1 - x |}$

Этап 1.1.1.3.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = \frac{x}{| x |} - \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |}$

Этап 1.1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{x}{| x |} - \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |}$ .

$\frac{x}{| x |} - \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |}$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{x}{| x |} - \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{x}{| x |} - \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |} = 0$

Этап 1.2.2

Вычтем $\frac{x}{| x |}$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |} = - \frac{x}{| x |}$

Этап 1.2.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$| 1 - x |, | x |$

Этап 1.2.3.2

Так как $| 1 - x |, | x |$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $1, 1$ , затем найдем НОК для части с переменной ${| 1 - x |}^{1}, {| x |}^{1}$ .

Этап 1.2.3.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.2.3.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.2.3.5

НОК $1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.2.3.6

Множителем ${| 1 - x |}^{1}$ является само значение $| 1 - x |$ .

${| 1 - x |}^{1} = | 1 - x |$

$| 1 - x |$ встречается $1$ раз.

Этап 1.2.3.7

Множителем ${| x |}^{1}$ является само значение $| x |$ .

${| x |}^{1} = | x |$

$| x |$ встречается $1$ раз.

Этап 1.2.3.8

НОК ${| 1 - x |}^{1}, {| x |}^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$| 1 - x | | x |$

Этап 1.2.4

Каждый член в $- \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |} = - \frac{x}{| x |}$ умножим на $| 1 - x | | x |$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Умножим каждый член $- \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |} = - \frac{x}{| x |}$ на $| 1 - x | | x |$ .

$- \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |} (| 1 - x | | x |) = - \frac{x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

Этап 1.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Сократим общий множитель $| 1 - x |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |}$ в числитель.

$\frac{- 2 (1 - x)}{| 1 - x |} (| 1 - x | | x |) = - \frac{x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

Этап 1.2.4.2.1.2

Вынесем множитель $| 1 - x |$ из $| 1 - x | | x |$ .

$\frac{- 2 (1 - x)}{| 1 - x |} (| 1 - x | | x |) = - \frac{x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

Этап 1.2.4.2.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 (1 - x)}{| 1 - x |} (| 1 - x | | x |) = - \frac{x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

Этап 1.2.4.2.1.4

Перепишем это выражение.

$- 2 (1 - x) | x | = - \frac{x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

Этап 1.2.4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(- 2 \cdot 1 - 2 (- x)) | x | = - \frac{x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

Этап 1.2.4.2.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.3.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$(- 2 - 2 (- x)) | x | = - \frac{x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

Этап 1.2.4.2.3.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$(- 2 + 2 x) | x | = - \frac{x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

Этап 1.2.4.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 | x | + 2 x | x | = - \frac{x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

Этап 1.2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.3.1

Сократим общий множитель $| x |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.3.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x}{| x |}$ в числитель.

$- 2 | x | + 2 x | x | = \frac{- x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

Этап 1.2.4.3.1.2

Вынесем множитель $| x |$ из $| 1 - x | | x |$ .

$- 2 | x | + 2 x | x | = \frac{- x}{| x |} (| x | | 1 - x |)$

Этап 1.2.4.3.1.3

Сократим общий множитель.

$- 2 | x | + 2 x | x | = \frac{- x}{| x |} (| x | | 1 - x |)$

Этап 1.2.4.3.1.4

Перепишем это выражение.

$- 2 | x | + 2 x | x | = - x | 1 - x |$

Этап 1.2.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Перепишем уравнение в виде $- x | 1 - x | = - 2 | x | + 2 x | x |$ .

$- x | 1 - x | = - 2 | x | + 2 x | x |$

Этап 1.2.5.2

Разделим каждый член $- x | 1 - x | = - 2 | x | + 2 x | x |$ на $- x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Разделим каждый член $- x | 1 - x | = - 2 | x | + 2 x | x |$ на $- x$ .

$\frac{- x | 1 - x |}{- x} = \frac{- 2 | x |}{- x} + \frac{2 x | x |}{- x}$

Этап 1.2.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x | 1 - x |}{x} = \frac{- 2 | x |}{- x} + \frac{2 x | x |}{- x}$

Этап 1.2.5.2.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x | 1 - x |}{x} = \frac{- 2 | x |}{- x} + \frac{2 x | x |}{- x}$

Этап 1.2.5.2.2.2.2

Разделим $| 1 - x |$ на $1$ .

$| 1 - x | = \frac{- 2 | x |}{- x} + \frac{2 x | x |}{- x}$

Этап 1.2.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.3.1.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$| 1 - x | = \frac{2 | x |}{x} + \frac{2 x | x |}{- x}$

Этап 1.2.5.2.3.1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$| 1 - x | = \frac{2 | x |}{x} + \frac{2 x | x |}{- x}$

Этап 1.2.5.2.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$| 1 - x | = \frac{2 | x |}{x} + \frac{2 | x |}{- 1}$

Этап 1.2.5.2.3.1.2.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{2 | x |}{- 1}$ .

$| 1 - x | = \frac{2 | x |}{x} - 1 \cdot (2 | x |)$

Этап 1.2.5.2.3.1.3

Перепишем $- 1 \cdot (2 | x |)$ в виде $- (2 | x |)$ .

$| 1 - x | = \frac{2 | x |}{x} - (2 | x |)$

Этап 1.2.5.2.3.1.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$| 1 - x | = \frac{2 | x |}{x} - 2 | x |$

Этап 1.2.6

Решим относительно $| x |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{2 | x |}{x} - 2 | x | = | 1 - x |$ .

$\frac{2 | x |}{x} - 2 | x | = | 1 - x |$

Этап 1.2.6.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x, 1, 1$

Этап 1.2.6.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x$

Этап 1.2.6.3

Каждый член в $\frac{2 | x |}{x} - 2 | x | = | 1 - x |$ умножим на $x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.3.1

Умножим каждый член $\frac{2 | x |}{x} - 2 | x | = | 1 - x |$ на $x$ .

$\frac{2 | x |}{x} x - 2 | x | x = | 1 - x | x$

Этап 1.2.6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 | x |}{x} x - 2 | x | x = | 1 - x | x$

Этап 1.2.6.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$2 | x | - 2 | x | x = | 1 - x | x$

Этап 1.2.6.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.4.1

Вынесем множитель $2 | x |$ из $2 | x | - 2 | x | x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.4.1.1

Вынесем множитель $2 | x |$ из $2 | x |$ .

$2 | x | \cdot 1 - 2 | x | x = | 1 - x | x$

Этап 1.2.6.4.1.2

Вынесем множитель $2 | x |$ из $- 2 | x | x$ .

$2 | x | \cdot 1 + 2 | x | (- 1 x) = | 1 - x | x$

Этап 1.2.6.4.1.3

Вынесем множитель $2 | x |$ из $2 | x | \cdot 1 + 2 | x | (- 1 x)$ .

$2 | x | (1 - 1 x) = | 1 - x | x$

Этап 1.2.6.4.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$2 | x | (1 - x) = | 1 - x | x$

Этап 1.2.6.4.3

Разделим каждый член $2 | x | (1 - x) = | 1 - x | x$ на $2 (1 - x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.4.3.1

Разделим каждый член $2 | x | (1 - x) = | 1 - x | x$ на $2 (1 - x)$ .

$\frac{2 | x | (1 - x)}{2 (1 - x)} = \frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)}$

Этап 1.2.6.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.4.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 | x | (1 - x)}{2 (1 - x)} = \frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)}$

Этап 1.2.6.4.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{| x | (1 - x)}{1 - x} = \frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)}$

Этап 1.2.6.4.3.2.2

Сократим общий множитель $1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.4.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| x | (1 - x)}{1 - x} = \frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)}$

Этап 1.2.6.4.3.2.2.2

Разделим $| x |$ на $1$ .

$| x | = \frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)}$

Этап 1.2.7

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x = \pm (\frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)})$

Этап 1.2.8

Результат состоит как из положительных, так и из отрицательных частей $\pm$ .

$x = \frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)}$

$x = - (\frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)})$

Этап 1.2.9

Решим $x = \frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)}$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1

Решим относительно $| 1 - x |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)} = x$ .

$\frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)} = x$

Этап 1.2.9.1.2

Умножим обе части на $2 (1 - x)$ .

$\frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)} (2 (1 - x)) = x (2 (1 - x))$

Этап 1.2.9.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1.3.1.1

Упростим $\frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)} (2 (1 - x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1.3.1.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)} (1 - x) = x (2 (1 - x))$

Этап 1.2.9.1.3.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)} (1 - x) = x (2 (1 - x))$

Этап 1.2.9.1.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{| 1 - x | x}{1 - x} (1 - x) = x (2 (1 - x))$

Этап 1.2.9.1.3.1.1.3

Сократим общий множитель $1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1.3.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| 1 - x | x}{1 - x} (1 - x) = x (2 (1 - x))$

Этап 1.2.9.1.3.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$| 1 - x | x = x (2 (1 - x))$

Этап 1.2.9.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1.3.2.1

Упростим $x (2 (1 - x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1.3.2.1.1

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1.3.2.1.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$| 1 - x | x = 2 x (1 - x)$

Этап 1.2.9.1.3.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$| 1 - x | x = 2 x \cdot 1 + 2 x (- x)$

Этап 1.2.9.1.3.2.1.1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1.3.2.1.1.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$| 1 - x | x = 2 x + 2 x (- x)$

Этап 1.2.9.1.3.2.1.1.3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$| 1 - x | x = 2 x + 2 \cdot - 1 x \cdot x$

Этап 1.2.9.1.3.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1.3.2.1.2.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1.3.2.1.2.1.1

Перенесем $x$ .

$| 1 - x | x = 2 x + 2 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Этап 1.2.9.1.3.2.1.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$| 1 - x | x = 2 x + 2 \cdot - 1 x^{2}$

Этап 1.2.9.1.3.2.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$| 1 - x | x = 2 x - 2 x^{2}$

Этап 1.2.9.1.3.2.1.3

Изменим порядок $2 x$ и $- 2 x^{2}$ .

$| 1 - x | x = - 2 x^{2} + 2 x$

Этап 1.2.9.1.4

Разделим каждый член $| 1 - x | x = - 2 x^{2} + 2 x$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1.4.1

Разделим каждый член $| 1 - x | x = - 2 x^{2} + 2 x$ на $x$ .

$\frac{| 1 - x | x}{x} = \frac{- 2 x^{2}}{x} + \frac{2 x}{x}$

Этап 1.2.9.1.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1.4.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| 1 - x | x}{x} = \frac{- 2 x^{2}}{x} + \frac{2 x}{x}$

Этап 1.2.9.1.4.2.1.2

Разделим $| 1 - x |$ на $1$ .

$| 1 - x | = \frac{- 2 x^{2}}{x} + \frac{2 x}{x}$

Этап 1.2.9.1.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1.4.3.1.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1.4.3.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x^{2}$ .

$| 1 - x | = \frac{x (- 2 x)}{x} + \frac{2 x}{x}$

Этап 1.2.9.1.4.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1.4.3.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$| 1 - x | = \frac{x (- 2 x)}{x^{1}} + \frac{2 x}{x}$

Этап 1.2.9.1.4.3.1.1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$| 1 - x | = \frac{x (- 2 x)}{x \cdot 1} + \frac{2 x}{x}$

Этап 1.2.9.1.4.3.1.1.2.3

Сократим общий множитель.

$| 1 - x | = \frac{x (- 2 x)}{x \cdot 1} + \frac{2 x}{x}$

Этап 1.2.9.1.4.3.1.1.2.4

Перепишем это выражение.

$| 1 - x | = \frac{- 2 x}{1} + \frac{2 x}{x}$

Этап 1.2.9.1.4.3.1.1.2.5

Разделим $- 2 x$ на $1$ .

$| 1 - x | = - 2 x + \frac{2 x}{x}$

Этап 1.2.9.1.4.3.1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1.4.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$| 1 - x | = - 2 x + \frac{2 x}{x}$

Этап 1.2.9.1.4.3.1.2.2

Разделим $2$ на $1$ .

$| 1 - x | = - 2 x + 2$

Этап 1.2.9.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$1 - x = \pm (- 2 x + 2)$

Этап 1.2.9.3

Результат состоит как из положительных, так и из отрицательных частей $\pm$ .

$1 - x = - 2 x + 2$

$1 - x = - (- 2 x + 2)$

Этап 1.2.9.4

Решим $1 - x = - 2 x + 2$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.4.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.4.1.1

Добавим $2 x$ к обеим частям уравнения.

$1 - x + 2 x = 2$

Этап 1.2.9.4.1.2

Добавим $- x$ и $2 x$ .

$1 + x = 2$

Этап 1.2.9.4.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = 2 - 1$

Этап 1.2.9.4.2.2

Вычтем $1$ из $2$ .

$x = 1$

Этап 1.2.9.5

Объединим решения.

$x = 1$

Этап 1.2.10

Найдем область определения $\frac{x}{| x |} - \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.1

Зададим знаменатель в $\frac{x}{| x |}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$| x | = 0$

Этап 1.2.10.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.2.1

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x = \pm 0$

Этап 1.2.10.2.2

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.10.3

Зададим знаменатель в $\frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$| 1 - x | = 0$

Этап 1.2.10.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.4.1

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$1 - x = \pm 0$

Этап 1.2.10.4.2

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$1 - x = 0$

Этап 1.2.10.4.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 1$

Этап 1.2.10.4.4

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.4.4.1

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 1.2.10.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.4.4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 1.2.10.4.4.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 1.2.10.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.4.4.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1$

Этап 1.2.10.5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 1.2.11

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Этап 1.2.12

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.12.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.12.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 1.2.12.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\frac{- 2}{| - 2 |} - \frac{2 (1 - (- 2))}{| 1 - (- 2) |} = 0$

Этап 1.2.12.1.3

Левая часть $- 3$ не равна правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 1.2.12.2

Проверим значение на интервале $0 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.12.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0.5$

Этап 1.2.12.2.2

Заменим $x$ на $0.5$ в исходном неравенстве.

$\frac{0.5}{| 0.5 |} - \frac{2 (1 - (0.5))}{| 1 - (0.5) |} = 0$

Этап 1.2.12.2.3

Левая часть $- 1$ не равна правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 1.2.12.3

Проверим значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.12.3.1

Выберем значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 1.2.12.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{4}{| 4 |} - \frac{2 (1 - (4))}{| 1 - (4) |} = 0$

Этап 1.2.12.3.3

Левая часть $3$ не равна правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 1.2.12.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 1$ Ложь

$x > 1$ Ложь

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 1$ Ложь

$x > 1$ Ложь

Этап 1.2.13

Поскольку попадающие в этот интервал числа отсутствуют, это неравенство не имеет решения.

Нет решения

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Зададим знаменатель в $\frac{x}{| x |}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$| x | = 0$

Этап 1.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x = \pm 0$

Этап 1.3.2.2

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 1.3.3

Зададим знаменатель в $\frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$| 1 - x | = 0$

Этап 1.3.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$1 - x = \pm 0$

Этап 1.3.4.2

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$1 - x = 0$

Этап 1.3.4.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 1$

Этап 1.3.4.4

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.4.1

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 1.3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 1.3.4.4.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 1.3.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.4.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1$

Этап 1.3.5

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x = 0, x = 1$

Этап 1.4

Вычислим $| x | + 2 | 1 - x |$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$| 0 | + 2 | 1 - (0) |$

Этап 1.4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $0$ равно $0$ .

$0 + 2 | 1 - (0) |$

Этап 1.4.1.2.1.2

Вычтем $0$ из $1$ .

$0 + 2 | 1 |$

Этап 1.4.1.2.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Этап 1.4.1.2.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$0 + 2$

Этап 1.4.1.2.2

Добавим $0$ и $2$ .

$2$

Этап 1.4.2

Найдем значение в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$| 1 | + 2 | 1 - (1) |$

Этап 1.4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$1 + 2 | 1 - (1) |$

Этап 1.4.2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$1 + 2 | 1 - 1 |$

Этап 1.4.2.2.1.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$1 + 2 | 0 |$

Этап 1.4.2.2.1.4

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $0$ равно $0$ .

$1 + 2 \cdot 0$

Этап 1.4.2.2.1.5

Умножим $2$ на $0$ .

$1 + 0$

Этап 1.4.2.2.2

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 1.4.3

Перечислим все точки.

$(0, 2), (1, 1)$

Этап 2

Вычислим на включенных конечных точках.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение в $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Подставим $- 2$ вместо $x$ .

$| - 2 | + 2 | 1 - (- 2) |$

Этап 2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 2$ и $0$ равно $2$ .

$2 + 2 | 1 - (- 2) |$

Этап 2.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$2 + 2 | 1 + 2 |$

Этап 2.1.2.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$2 + 2 | 3 |$

Этап 2.1.2.1.4

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$2 + 2 \cdot 3$

Этап 2.1.2.1.5

Умножим $2$ на $3$ .

$2 + 6$

Этап 2.1.2.2

Добавим $2$ и $6$ .

$8$

Этап 2.2

Найдем значение в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

$| 2 | + 2 | 1 - (2) |$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$2 + 2 | 1 - (2) |$

Этап 2.2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 + 2 | 1 - 2 |$

Этап 2.2.2.1.3

Вычтем $2$ из $1$ .

$2 + 2 | - 1 |$

Этап 2.2.2.1.4

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 1$ и $0$ равно $1$ .

$2 + 2 \cdot 1$

Этап 2.2.2.1.5

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + 2$

Этап 2.2.2.2

Добавим $2$ и $2$ .

$4$

Этап 2.3

Перечислим все точки.

$(- 2, 8), (2, 4)$

Этап 3

Сравним значения $f (x)$ , найденные для каждого значения $x$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $f (x)$ , а минимум — при наименьшем значении $f (x)$ .

Абсолютный максимум: $(- 2, 8)$

Абсолютный минимум: $(1, 1)$

Этап 4