Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{4 - x^{2}}$ , $[- 2, 2]$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{4 - x^{2}}$ в виде ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 4 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (4 - x^{2})$

Этап 1.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})$

Этап 1.1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})$

Этап 1.1.1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})$

Этап 1.1.1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})$

Этап 1.1.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})$

Этап 1.1.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})$

Этап 1.1.1.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})$

Этап 1.1.1.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})$

Этап 1.1.1.7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x^{2})$

Этап 1.1.1.7.3

Перенесем ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x^{2})$

Этап 1.1.1.8

По правилу суммы производная $4 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Этап 1.1.1.9

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Этап 1.1.1.10

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Этап 1.1.1.11

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2})$

Этап 1.1.1.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x))$

Этап 1.1.1.13

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.13.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x)$

Этап 1.1.1.13.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x$

Этап 1.1.1.13.3

Объединим $\frac{- 2}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.1.13.4

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.1.14

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.14.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x)}{2 ({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 1.1.1.14.2

Сократим общий множитель.

$f' (x) = \frac{2 (- x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.1.14.3

Перепишем это выражение.

$f' (x) = \frac{- x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.1.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 1.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$x = 0$

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$- \frac{x}{\sqrt{{(4 - x^{2})}^{1}}}$

Этап 1.3.1.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$- \frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}}$

Этап 1.3.2

Зададим знаменатель в $\frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt{4 - x^{2}} = 0$

Этап 1.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{4 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Этап 1.3.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{4 - x^{2}}$ в виде ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 1.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.2.1

Упростим ${({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 1.3.3.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 1.3.3.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(4 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Этап 1.3.3.2.2.1.2

Упростим.

$4 - x^{2} = 0^{2}$

Этап 1.3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$4 - x^{2} = 0$

Этап 1.3.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} = - 4$

Этап 1.3.3.3.2

Разделим каждый член $- x^{2} = - 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} = - 4$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 1.3.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 1.3.3.3.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 1.3.3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.2.3.1

Разделим $- 4$ на $- 1$ .

$x^{2} = 4$

Этап 1.3.3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Этап 1.3.3.3.4

Упростим $\pm \sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.4.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Этап 1.3.3.3.4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 2$

Этап 1.3.3.3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2$

Этап 1.3.3.3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2$

Этап 1.3.3.3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2, - 2$

Этап 1.3.4

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{4 - x^{2}}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$4 - x^{2} < 0$

Этап 1.3.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Вычтем $4$ из обеих частей неравенства.

$- x^{2} < - 4$

Этап 1.3.5.2

Разделим каждый член $- x^{2} < - 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} < - 4$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 4}{- 1}$

Этап 1.3.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 4}{- 1}$

Этап 1.3.5.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} > \frac{- 4}{- 1}$

Этап 1.3.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.2.3.1

Разделим $- 4$ на $- 1$ .

$x^{2} > 4$

Этап 1.3.5.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{4}$

Этап 1.3.5.4

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.4.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | > \sqrt{4}$

Этап 1.3.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.4.2.1

Упростим $\sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.4.2.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$| x | > \sqrt{2^{2}}$

Этап 1.3.5.4.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | > | 2 |$

Этап 1.3.5.4.2.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$| x | > 2$

Этап 1.3.5.5

Запишем $| x | > 2$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.5.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 1.3.5.5.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x > 2$

Этап 1.3.5.5.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 1.3.5.5.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x > 2$

Этап 1.3.5.5.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x > 2 & x \geq 0 \\ - x > 2 & x < 0 \end{cases}$

Этап 1.3.5.6

Найдем пересечение $x > 2$ и $x \geq 0$ .

$x > 2$

Этап 1.3.5.7

Разделим каждый член $- x > 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.7.1

Разделим каждый член $- x > 2$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{2}{- 1}$

Этап 1.3.5.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.7.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} < \frac{2}{- 1}$

Этап 1.3.5.7.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x < \frac{2}{- 1}$

Этап 1.3.5.7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.7.3.1

Разделим $2$ на $- 1$ .

$x < - 2$

Этап 1.3.5.8

Найдем объединение решений.

$x < - 2$ или $x > 2$

Этап 1.3.6

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \leq - 2, x \geq 2$

$(- \infty, - 2] \cup [2, \infty)$

$x \leq - 2, x \geq 2$

$(- \infty, - 2] \cup [2, \infty)$

Этап 1.4

Вычислим $\sqrt{4 - x^{2}}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$\sqrt{4 - {(0)}^{2}}$

Этап 1.4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\sqrt{4 - 0}$

Этап 1.4.1.2.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\sqrt{4 + 0}$

Этап 1.4.1.2.3

Добавим $4$ и $0$ .

$\sqrt{4}$

Этап 1.4.1.2.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2}}$

Этап 1.4.1.2.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$2$

Этап 1.4.2

Найдем значение в $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Подставим $- 2$ вместо $x$ .

$\sqrt{4 - {(- 2)}^{2}}$

Этап 1.4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$\sqrt{4 - 1 \cdot 4}$

Этап 1.4.2.2.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\sqrt{4 - 4}$

Этап 1.4.2.2.3

Вычтем $4$ из $4$ .

$\sqrt{0}$

Этап 1.4.2.2.4

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}}$

Этап 1.4.2.2.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$0$

Этап 1.4.3

Найдем значение в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

$\sqrt{4 - {(2)}^{2}}$

Этап 1.4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{4 - 1 \cdot 4}$

Этап 1.4.3.2.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\sqrt{4 - 4}$

Этап 1.4.3.2.3

Вычтем $4$ из $4$ .

$\sqrt{0}$

Этап 1.4.3.2.4

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}}$

Этап 1.4.3.2.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$0$

Этап 1.4.4

Перечислим все точки.

$(0, 2), (- 2, 0), (2, 0)$

Этап 2

Вычислим на включенных конечных точках.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение в $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Подставим $- 2$ вместо $x$ .

$\sqrt{4 - {(- 2)}^{2}}$

Этап 2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$\sqrt{4 - 1 \cdot 4}$

Этап 2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\sqrt{4 - 4}$

Этап 2.1.2.3

Вычтем $4$ из $4$ .

$\sqrt{0}$

Этап 2.1.2.4

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}}$

Этап 2.1.2.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$0$

Этап 2.2

Найдем значение в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

$\sqrt{4 - {(2)}^{2}}$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{4 - 1 \cdot 4}$

Этап 2.2.2.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\sqrt{4 - 4}$

Этап 2.2.2.3

Вычтем $4$ из $4$ .

$\sqrt{0}$

Этап 2.2.2.4

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}}$

Этап 2.2.2.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$0$

Этап 2.3

Перечислим все точки.

$(- 2, 0), (2, 0)$

Этап 3

Сравним значения $f (x)$ , найденные для каждого значения $x$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $f (x)$ , а минимум — при наименьшем значении $f (x)$ .

Абсолютный максимум: $(0, 2)$

Абсолютный минимум: $(- 2, 0), (2, 0)$

Этап 4