Математический анализ Примеры

$f (x) = \ln (x) - x$ , $x > 0$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $\ln (x) - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.1.1.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x} - \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{x} - 1 \cdot 1$

Этап 1.1.1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x} - 1$

Этап 1.1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x} - 1$ .

$\frac{1}{x} - 1$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{1}{x} - 1 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{1}{x} - 1 = 0$

Этап 1.2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\frac{1}{x} = 1$

Этап 1.2.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x, 1$

Этап 1.2.3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x$

Этап 1.2.4

Каждый член в $\frac{1}{x} = 1$ умножим на $x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Умножим каждый член $\frac{1}{x} = 1$ на $x$ .

$\frac{1}{x} x = 1 x$

Этап 1.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x} x = 1 x$

Этап 1.2.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = 1 x$

Этап 1.2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.3.1

Умножим $x$ на $1$ .

$1 = x$

Этап 1.2.5

Перепишем уравнение в виде $x = 1$ .

$x = 1$

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 1.4

Вычислим $\ln (x) - x$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем значение в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$\ln (1) - (1)$

Этап 1.4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1.1

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$0 - (1)$

Этап 1.4.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 - 1$

Этап 1.4.1.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$- 1$

Этап 1.4.2

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$\ln (0) - (0)$

Этап 1.4.2.2

Натуральный логарифм нуля не определен.

Неопределенные

Этап 1.4.3

Перечислим все точки.

$(1, - 1)$

Этап 2

Определим точки возможного максимума или минимума с помощью первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 2.2

Подставим любое число такое, что $- 2$ , из интервала $(- \infty, 1)$ в первую производную $\frac{1}{x} - 1$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{1}{- 2} - 1$

Этап 2.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- 2) = - \frac{1}{2} - 1$

Этап 2.2.2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (- 2) = - \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 2.2.2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (- 2) = - \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Этап 2.2.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (- 2) = \frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}$

Этап 2.2.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 1 - 2}{2}$

Этап 2.2.2.5.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 3}{2}$

Этап 2.2.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- 2) = - \frac{3}{2}$

Этап 2.2.2.7

Окончательный ответ: $- \frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2}$

Этап 2.3

Подставим любое число такое, что $4$ , из интервала $(1, \infty)$ в первую производную $\frac{1}{x} - 1$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f' (4) = \frac{1}{4} - 1$

Этап 2.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f' (4) = \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}$

Этап 2.3.2.2

Объединим $- 1$ и $\frac{4}{4}$ .

$f' (4) = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}$

Этап 2.3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (4) = \frac{1 - 1 \cdot 4}{4}$

Этап 2.3.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.4.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f' (4) = \frac{1 - 4}{4}$

Этап 2.3.2.4.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$f' (4) = \frac{- 3}{4}$

Этап 2.3.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (4) = - \frac{3}{4}$

Этап 2.3.2.6

Окончательный ответ: $- \frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{4}$

Этап 2.4

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = 1$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 2.5

Локальный минимум или минимум для $f (x) = \ln (x) - x$ не найден.

Нет локального максимума или минимума

Этап 3

Сравним значения $f (x)$ , найденные для каждого значения $x$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $f (x)$ , а минимум — при наименьшем значении $f (x)$ .

Нет абсолютного максимума

Нет абсолютного минимума

Этап 4