Математический анализ Примеры

$f (x) = \cos (x)$

Этап 1

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sin (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \sin (x)$

Этап 2.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - \cos (x)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- \sin (x) = 0$

Этап 4

Разделим каждый член $- \sin (x) = 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $- \sin (x) = 0$ на $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 4.2.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{0}{- 1}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 5

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 7

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 8

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 9

Решение уравнения $x = 0$ .

$x = 0, π$

Этап 10

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \cos (0)$

Этап 11

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 11.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 12

$x = 0$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный максимум

Этап 13

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \cos (0)$

Этап 13.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (0) = 1$

Этап 13.2.2

Окончательный ответ: $1$ .

$y = 1$

Этап 14

Найдем вторую производную в $x = π$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \cos (π)$

Этап 15

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$- - \cos (0)$

Этап 15.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- (- 1 \cdot 1)$

Этап 15.3

Умножим $- (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- - 1$

Этап 15.3.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1$

Этап 16

$x = π$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = π$ — локальный минимум

Этап 17

Найдем значение y, если $x = π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $π$ .

$f (π) = \cos (π)$

Этап 17.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

$f (π) = - \cos (0)$

Этап 17.2.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (π) = - 1 \cdot 1$

Этап 17.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (π) = - 1$

Этап 17.2.4

Окончательный ответ: $- 1$ .

$y = - 1$

Этап 18

Это локальные экстремумы $f (x) = \cos (x)$ .

$(0, 1)$ — локальный максимум

$(π, - 1)$ — локальный минимум

Этап 19