Математический анализ Примеры

$f (x) = | x |$

Этап 1

Производная $| x |$ по $x$ равна $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{x}{| x |}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = | x |$ .

$f'' (x) = \frac{| x | \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{| x | \cdot 1 - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.2.2

Умножим $| x |$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x | - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.3

Производная $| x |$ по $x$ равна $\frac{x}{| x |}$ .

$f'' (x) = \frac{| x | - x \frac{x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.4

Объединим $\frac{x}{| x |}$ и $x$ .

$f'' (x) = \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{| x | - \frac{x^{1 + 1}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2}}{| x |} + | x |}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.9.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1

Чтобы записать $| x |$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{| x |}{| x |}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2}}{| x |} + \frac{| x | | x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.9.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x | | x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.9.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.3.1

Умножим $| x | | x |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.3.1.1

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x \cdot x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.9.2.3.1.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x \cdot x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.9.2.3.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x \cdot x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.9.2.3.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x^{1 + 1} |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.9.2.3.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x^{2} |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.9.2.3.2

Вынесем неотрицательные члены из-под знака модуля.

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.9.2.3.3

Добавим $- x^{2}$ и $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{0}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.9.2.4

Разделим $0$ на $| x |$ .

$f'' (x) = \frac{0}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.9.3

Уберем знак модуля в ${| x |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$f'' (x) = \frac{0}{x^{2}}$

Этап 2.9.4

Разделим $0$ на $x^{2}$ .

$f'' (x) = 0$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{x}{| x |} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Производная $| x |$ по $x$ равна $\frac{x}{| x |}$ .

$f' (x) = \frac{x}{| x |}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{x}{| x |}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{x}{| x |} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{x}{| x |} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$x = 0$

Этап 5.3

Исключим решения, которые не делают $\frac{x}{| x |} = 0$ истинным.

$Нет решения$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим знаменатель в $\frac{x}{| x |}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$| x | = 0$

Этап 6.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x = \pm 0$

Этап 6.2.2

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$0$

Этап 9

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 9.2

Подставим любое число такое, что $- 2$ , из интервала $(- \infty, 0)$ в первую производную $\frac{x}{| x |}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 2}{| - 2 |}$

Этап 9.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 2$ и $0$ равно $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 2}{2}$

Этап 9.2.2.2

Разделим $- 2$ на $2$ .

$f' (- 2) = - 1$

Этап 9.2.2.3

Окончательный ответ: $- 1$ .

$- 1$

Этап 9.3

Подставим любое число такое, что $2$ , из интервала $(0, \infty)$ в первую производную $\frac{x}{| x |}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = \frac{2}{| 2 |}$

Этап 9.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$f' (2) = \frac{2}{2}$

Этап 9.3.2.2

Разделим $2$ на $2$ .

$f' (2) = 1$

Этап 9.3.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 9.4

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = 0$ , $x = 0$ — локальный минимум.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 10