Математический анализ Примеры

$y = 2 - | t - 2 |$ , $[- 8, 3]$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.1

По правилу суммы производная $2 - | t - 2 |$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [- | t - 2 |]$ .

$\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [- | t - 2 |]$

Этап 1.1.1.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2$ относительно $t$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- | t - 2 |]$

Этап 1.1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [- | t - 2 |]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- | t - 2 |$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [| t - 2 |]$ .

$0 - \frac{d}{d t} [| t - 2 |]$

Этап 1.1.1.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = | t |$ и $g (t) = t - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $t - 2$ .

$0 - (\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d t} [t - 2])$

Этап 1.1.1.2.2.2

Производная $| u |$ по $u$ равна $\frac{u}{| u |}$ .

$0 - (\frac{u}{| u |} \frac{d}{d t} [t - 2])$

Этап 1.1.1.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $t - 2$ .

$0 - (\frac{t - 2}{| t - 2 |} \frac{d}{d t} [t - 2])$

Этап 1.1.1.2.3

По правилу суммы производная $t - 2$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ .

$0 - (\frac{t - 2}{| t - 2 |} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]))$

Этап 1.1.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - (\frac{t - 2}{| t - 2 |} (1 + \frac{d}{d t} [- 2]))$

Этап 1.1.1.2.5

Поскольку $- 2$ является константой относительно $t$ , производная $- 2$ относительно $t$ равна $0$ .

$0 - (\frac{t - 2}{| t - 2 |} (1 + 0))$

Этап 1.1.1.2.6

Добавим $1$ и $0$ .

$0 - (\frac{t - 2}{| t - 2 |} \cdot 1)$

Этап 1.1.1.2.7

Умножим $\frac{t - 2}{| t - 2 |}$ на $1$ .

$0 - \frac{t - 2}{| t - 2 |}$

Этап 1.1.1.3

Вычтем $\frac{t - 2}{| t - 2 |}$ из $0$ .

$f' (t) = - \frac{t - 2}{| t - 2 |}$

Этап 1.1.2

Первая производная $f (t)$ по $t$ равна $- \frac{t - 2}{| t - 2 |}$ .

$- \frac{t - 2}{| t - 2 |}$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{t - 2}{| t - 2 |} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{t - 2}{| t - 2 |} = 0$

Этап 1.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$t - 2 = 0$

Этап 1.2.3

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$t = 2$

Этап 1.2.4

Исключим решения, которые не делают $- \frac{t - 2}{| t - 2 |} = 0$ истинным.

$Нет решения$

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Зададим знаменатель в $\frac{t - 2}{| t - 2 |}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$| t - 2 | = 0$

Этап 1.3.2

Решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$t - 2 = \pm 0$

Этап 1.3.2.2

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$t - 2 = 0$

Этап 1.3.2.3

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$t = 2$

Этап 1.4

Вычислим $2 - | t - 2 |$ для каждого значения $t$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем значение в $t = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Подставим $2$ вместо $t$ .

$2 - | (2) - 2 |$

Этап 1.4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$2 - | 0 |$

Этап 1.4.1.2.1.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $0$ равно $0$ .

$2 - 0$

Этап 1.4.1.2.1.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 + 0$

Этап 1.4.1.2.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 1.4.2

Перечислим все точки.

$(2, 2)$

Этап 2

Вычислим на включенных конечных точках.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение в $t = - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Подставим $- 8$ вместо $t$ .

$2 - | (- 8) - 2 |$

Этап 2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Вычтем $2$ из $- 8$ .

$2 - | - 10 |$

Этап 2.1.2.1.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 10$ и $0$ равно $10$ .

$2 - 1 \cdot 10$

Этап 2.1.2.1.3

Умножим $- 1$ на $10$ .

$2 - 10$

Этап 2.1.2.2

Вычтем $10$ из $2$ .

$- 8$

Этап 2.2

Найдем значение в $t = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Подставим $3$ вместо $t$ .

$2 - | (3) - 2 |$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Вычтем $2$ из $3$ .

$2 - | 1 |$

Этап 2.2.2.1.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$2 - 1 \cdot 1$

Этап 2.2.2.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 - 1$

Этап 2.2.2.2

Вычтем $1$ из $2$ .

$1$

Этап 2.3

Перечислим все точки.

$(- 8, - 8), (3, 1)$

Этап 3

Сравним значения $f (t)$ , найденные для каждого значения $t$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $f (t)$ , а минимум — при наименьшем значении $f (t)$ .

Абсолютный максимум: $(2, 2)$

Абсолютный минимум: $(- 8, - 8)$

Этап 4