Математический анализ Примеры

$g (x) = - x^{2} + 24 x - 109$ , $s i \cdot 8 \leq x \leq 14$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $- x^{2} + 24 x - 109$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 109]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 109]$

Этап 1.1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 109]$

Этап 1.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 109]$

Этап 1.1.1.2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 109]$

Этап 1.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Поскольку $24$ является константой относительно $x$ , производная $24 x$ по $x$ равна $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x + 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 109]$

Этап 1.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 x + 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 109]$

Этап 1.1.1.3.3

Умножим $24$ на $1$ .

$- 2 x + 24 + \frac{d}{d x} [- 109]$

Этап 1.1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.1

Поскольку $- 109$ является константой относительно $x$ , производная $- 109$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 2 x + 24 + 0$

Этап 1.1.1.4.2

Добавим $- 2 x + 24$ и $0$ .

$f' (x) = - 2 x + 24$

Этап 1.1.2

Первая производная $g (x)$ по $x$ равна $- 2 x + 24$ .

$- 2 x + 24$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 2 x + 24 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 2 x + 24 = 0$

Этап 1.2.2

Вычтем $24$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x = - 24$

Этап 1.2.3

Разделим каждый член $- 2 x = - 24$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Разделим каждый член $- 2 x = - 24$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 24}{- 2}$

Этап 1.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 24}{- 2}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 24}{- 2}$

Этап 1.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Разделим $- 24$ на $- 2$ .

$x = 12$

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 1.4

Вычислим $- x^{2} + 24 x - 109$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем значение в $x = 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Подставим $12$ вместо $x$ .

$- {(12)}^{2} + 24 (12) - 109$

Этап 1.4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1.1

Возведем $12$ в степень $2$ .

$- 1 \cdot 144 + 24 (12) - 109$

Этап 1.4.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $144$ .

$- 144 + 24 (12) - 109$

Этап 1.4.1.2.1.3

Умножим $24$ на $12$ .

$- 144 + 288 - 109$

Этап 1.4.1.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.2.1

Добавим $- 144$ и $288$ .

$144 - 109$

Этап 1.4.1.2.2.2

Вычтем $109$ из $144$ .

$35$

Этап 1.4.2

Перечислим все точки.

$(12, 35)$

Этап 2

Исключим точки, которые не принадлежат данному интервалу.

Этап 3

Вычислим на включенных конечных точках.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение в $x = 8 s i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Подставим $8 s i$ вместо $x$ .

$- {(8 s i)}^{2} + 24 (8 s i) - 109$

Этап 3.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Применим правило умножения к $8 s i$ .

$- ({(8 s)}^{2} i^{2}) + 24 (8 s i) - 109$

Этап 3.1.2.1.2

Применим правило умножения к $8 s$ .

$- (8^{2} s^{2} i^{2}) + 24 (8 s i) - 109$

Этап 3.1.2.2

Возведем $8$ в степень $2$ .

$- (64 s^{2} i^{2}) + 24 (8 s i) - 109$

Этап 3.1.2.3

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$- (64 s^{2} \cdot - 1) + 24 (8 s i) - 109$

Этап 3.1.2.4

Умножим $- 1$ на $64$ .

$- (- 64 s^{2}) + 24 (8 s i) - 109$

Этап 3.1.2.5

Умножим $- 64$ на $- 1$ .

$64 s^{2} + 24 (8 s i) - 109$

Этап 3.1.2.6

Умножим $8$ на $24$ .

$64 s^{2} + 192 s i - 109$

Этап 3.2

Найдем значение в $x = 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Подставим $14$ вместо $x$ .

$- {(14)}^{2} + 24 (14) - 109$

Этап 3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Возведем $14$ в степень $2$ .

$- 1 \cdot 196 + 24 (14) - 109$

Этап 3.2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $196$ .

$- 196 + 24 (14) - 109$

Этап 3.2.2.1.3

Умножим $24$ на $14$ .

$- 196 + 336 - 109$

Этап 3.2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Добавим $- 196$ и $336$ .

$140 - 109$

Этап 3.2.2.2.2

Вычтем $109$ из $140$ .

$31$

Этап 3.3

Перечислим все точки.

$(14, 31)$

Этап 4

Ввиду отсутствия значения $x$ , при котором первая производная равна $0$ , локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 5

Сравним значения $g (x)$ , найденные для каждого значения $x$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $g (x)$ , а минимум — при наименьшем значении $g (x)$ .

Абсолютный максимум: $(14, 31)$

Нет абсолютного минимума

Этап 6