Математический анализ Примеры

$f (x) = \tan^{-1} (x^{2})$ on $- 2$ , $2$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \tan^{-1} (x)$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\tan^{-1} (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.1.1.2

Производная $\tan^{-1} (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.1.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{1 + x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + x^{4}} (2 x)$

Этап 1.1.1.2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.3.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{1 + x^{4}}$ .

$\frac{2}{1 + x^{4}} x$

Этап 1.1.1.2.3.2

Объединим $\frac{2}{1 + x^{4}}$ и $x$ .

$\frac{2 x}{1 + x^{4}}$

Этап 1.1.1.2.3.3

Изменим порядок членов.

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{4} + 1}$

Этап 1.1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{2 x}{x^{4} + 1}$ .

$\frac{2 x}{x^{4} + 1}$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{2 x}{x^{4} + 1} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{2 x}{x^{4} + 1} = 0$

Этап 1.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$2 x = 0$

Этап 1.2.3

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 1.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Этап 1.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x = 0$

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 1.4

Вычислим $\tan^{-1} (x^{2})$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$\tan^{-1} ({(0)}^{2})$

Этап 1.4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\tan^{-1} (0)$

Этап 1.4.1.2.2

Точное значение $\tan^{-1} (0)$ : $0$ .

$0$

Этап 1.4.2

Перечислим все точки.

$(0, 0)$

Этап 2

Вычислим на включенных конечных точках.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение в $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Подставим $- 2$ вместо $x$ .

$\tan^{-1} ({(- 2)}^{2})$

Этап 2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$\tan^{-1} (4)$

Этап 2.1.2.2

Найдем значение $\tan^{-1} (4)$ .

$1.32581766$

Этап 2.2

Найдем значение в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

$\tan^{-1} ({(2)}^{2})$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\tan^{-1} (4)$

Этап 2.2.2.2

Найдем значение $\tan^{-1} (4)$ .

$1.32581766$

Этап 2.3

Перечислим все точки.

$(- 2, 1.32581766), (2, 1.32581766)$

Этап 3

Сравним значения $f (x)$ , найденные для каждого значения $x$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $f (x)$ , а минимум — при наименьшем значении $f (x)$ .

Абсолютный максимум: $(- 2, 1.32581766), (2, 1.32581766)$

Абсолютный минимум: $(0, 0)$

Этап 4