Математический анализ Примеры

$k (x) = 10^{x}$ , given $- 3 \leq x \leq 1$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $10$ .

$f' (x) = 10^{x} \ln (10)$

Этап 1.1.2

Первая производная $k (x)$ по $x$ равна $10^{x} \ln (10)$ .

$10^{x} \ln (10)$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $10^{x} \ln (10) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$10^{x} \ln (10) = 0$

Этап 1.2.2

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

Нет решения

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 1.4

В области определения исходной задачи нет значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

Критические точки не найдены

Этап 2

Вычислим на включенных конечных точках.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение в $x = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Подставим $- 3$ вместо $x$ .

$10^{- 3}$

Этап 2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{10^{3}}$

Этап 2.1.2.2

Возведем $10$ в степень $3$ .

$\frac{1}{1000}$

Этап 2.2

Найдем значение в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$10^{1}$

Этап 2.2.2

Найдем экспоненту.

$10$

Этап 2.3

Перечислим все точки.

$(- 3, \frac{1}{1000}), (1, 10)$

Этап 3

Сравним значения $k (x)$ , найденные для каждого значения $x$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $k (x)$ , а минимум — при наименьшем значении $k (x)$ .

Абсолютный максимум: $(1, 10)$

Абсолютный минимум: $(- 3, \frac{1}{1000})$

Этап 4