Математический анализ Примеры

$y = \frac{1}{x}$ , $(2, \frac{1}{2})$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 2$ и $y = \frac{1}{2}$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Этап 1.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.4

Найдем производную в $x = 2$ .

$- \frac{1}{{(2)}^{2}}$

Этап 1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- \frac{1}{4}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- \frac{1}{4}$ и координаты заданной точки $(2, \frac{1}{2})$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} \cdot (x - (2))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{1}{4} \cdot (x - 2)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $- \frac{1}{4} \cdot (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - \frac{1}{2} = 0 + 0 - \frac{1}{4} \cdot (x - 2)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{1}{4} \cdot (x - 2)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{1}{4} x - \frac{1}{4} \cdot - 2$

Этап 2.3.1.4

Объединим $x$ и $\frac{1}{4}$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{4} - \frac{1}{4} \cdot - 2$

Этап 2.3.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{4}$ в числитель.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{4} + \frac{- 1}{4} \cdot - 2$

Этап 2.3.1.5.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{4} + \frac{- 1}{2 (2)} \cdot - 2$

Этап 2.3.1.5.3

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{4} + \frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Этап 2.3.1.5.4

Сократим общий множитель.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{4} + \frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Этап 2.3.1.5.5

Перепишем это выражение.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{4} + \frac{- 1}{2} \cdot - 1$

Этап 2.3.1.6

Объединим $\frac{- 1}{2}$ и $- 1$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{4} + \frac{- - 1}{2}$

Этап 2.3.1.7

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{4} + \frac{1}{2}$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $\frac{1}{2}$ к обеим частям уравнения.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 2.3.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{- x}{4} + \frac{1 + 1}{2}$

Этап 2.3.2.3

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \frac{- x}{4} + \frac{2}{2}$

Этап 2.3.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{2}{2}$

Этап 2.3.2.4.2

Разделим $2$ на $2$ .

$y = - \frac{x}{4} + 1$

Этап 2.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Изменим порядок членов.

$y = - (\frac{1}{4} x) + 1$

Этап 2.3.3.2

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{1}{4} x + 1$

Этап 3