Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{4 x + 36}$ ; $x = 0$

Этап 1

Найдем значение $y$ при $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$y = \sqrt{4 (0) + 36}$

Этап 1.2

Упростим $\sqrt{4 (0) + 36}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Умножим $4$ на $0$ .

$y = \sqrt{0 + 36}$

Этап 1.2.2

Добавим $0$ и $36$ .

$y = \sqrt{36}$

Этап 1.2.3

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$y = \sqrt{6^{2}}$

Этап 1.2.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = 6$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 0$ и $y = 6$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x + 36}]$ в виде $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x + 9}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем $4 x + 36$ в виде $2^{2} (x + 9)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (x) + 36}]$

Этап 2.1.1.2

Вынесем множитель $4$ из $36$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (x) + 4 (9)}]$

Этап 2.1.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (x) + 4 (9)$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (x + 9)}]$

Этап 2.1.1.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2^{2} (x + 9)}]$

Этап 2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x + 9}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 9}$ в виде ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 9$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 9])$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 9])$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 9$ .

$2 (\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 9])$

Этап 2.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])$

Этап 2.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])$

Этап 2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 (\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])$

Этап 2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])$

Этап 2.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$2 (\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])$

Этап 2.8

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 (\frac{1}{2} {(x + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])$

Этап 2.8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{{(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 9])$

Этап 2.8.3

Перенесем ${(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 9])$

Этап 2.8.4

Объединим $\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ и $2$ .

$\frac{2}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Этап 2.8.5

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Этап 2.8.6

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Этап 2.9

По правилу суммы производная $x + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{1}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 2.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 2.11

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)$

Этап 2.12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Этап 2.12.2

Умножим $\frac{1}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$\frac{1}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.13

Найдем производную в $x = 0$ .

$\frac{1}{{((0) + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.14

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.1

Добавим $0$ и $9$ .

$\frac{1}{9^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.14.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{1}{{(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.14.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Этап 2.14.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Этап 2.14.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3^{1}}$

Этап 2.14.5

Найдем экспоненту.

$\frac{1}{3}$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $\frac{1}{3}$ и координаты заданной точки $(0, 6)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (6) = \frac{1}{3} \cdot (x - (0))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 6 = \frac{1}{3} \cdot (x + 0)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $\frac{1}{3} \cdot (x + 0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Добавим $x$ и $0$ .

$y - 6 = \frac{1}{3} \cdot x$

Этап 3.3.1.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x$ .

$y - 6 = \frac{x}{3}$

Этап 3.3.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$y = \frac{x}{3} + 6$

Этап 3.3.3

Изменим порядок членов.

$y = \frac{1}{3} x + 6$

Этап 4