Математический анализ Примеры

$e^{x} \cos (x) + \sin (x)$ , $(0, 1)$

Этап 1

Запишем $e^{x} \cos (x) + \sin (x)$ в виде уравнения.

$y = e^{x} \cos (x) + \sin (x)$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 0$ и $y = 1$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $e^{x} \cos (x) + \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = \cos (x)$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 2.2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 2.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + \cos (x)$

Этап 2.4

Изменим порядок членов.

$- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x) + \cos (x)$

Этап 2.5

Найдем производную в $x = 0$ .

$- e^{0} \sin (0) + e^{0} \cos (0) + \cos (0)$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$- 1 \cdot 1 \sin (0) + e^{0} \cos (0) + \cos (0)$

Этап 2.6.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1 \sin (0) + e^{0} \cos (0) + \cos (0)$

Этап 2.6.1.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$- 1 \cdot 0 + e^{0} \cos (0) + \cos (0)$

Этап 2.6.1.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$0 + e^{0} \cos (0) + \cos (0)$

Этап 2.6.1.5

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$0 + 1 \cos (0) + \cos (0)$

Этап 2.6.1.6

Умножим $\cos (0)$ на $1$ .

$0 + \cos (0) + \cos (0)$

Этап 2.6.1.7

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$0 + 1 + \cos (0)$

Этап 2.6.1.8

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$0 + 1 + 1$

Этап 2.6.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Добавим $0$ и $1$ .

$1 + 1$

Этап 2.6.2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$2$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $2$ и координаты заданной точки $(0, 1)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 2 \cdot (x - (0))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 1 = 2 \cdot (x + 0)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Добавим $x$ и $0$ .

$y - 1 = 2 x$

Этап 3.3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = 2 x + 1$

Этап 4