Математический анализ Примеры

$x^{3} + y^{3} = 4 x y$ ; $(2, 2)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 2$ и $y = 2$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (4 x y)$

Этап 1.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} + y^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 1.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.2.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Этап 1.3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x y$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 (x y' + y \cdot 1)$

Этап 1.3.5

Умножим $y$ на $1$ .

$4 (x y' + y)$

Этап 1.3.6

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x y' + 4 y$

Этап 1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 4 x y' + 4 y$

Этап 1.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Вычтем $4 x y'$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 4 x y' = 4 y$

Этап 1.5.2

Вычтем $3 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$3 y^{2} y' - 4 x y' = 4 y - 3 x^{2}$

Этап 1.5.3

Вынесем множитель $y'$ из $3 y^{2} y' - 4 x y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Вынесем множитель $y'$ из $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) - 4 x y' = 4 y - 3 x^{2}$

Этап 1.5.3.2

Вынесем множитель $y'$ из $- 4 x y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (- 4 x) = 4 y - 3 x^{2}$

Этап 1.5.3.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (3 y^{2}) + y' (- 4 x)$ .

$y' (3 y^{2} - 4 x) = 4 y - 3 x^{2}$

Этап 1.5.4

Разделим каждый член $y' (3 y^{2} - 4 x) = 4 y - 3 x^{2}$ на $3 y^{2} - 4 x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Разделим каждый член $y' (3 y^{2} - 4 x) = 4 y - 3 x^{2}$ на $3 y^{2} - 4 x$ .

$\frac{y' (3 y^{2} - 4 x)}{3 y^{2} - 4 x} = \frac{4 y}{3 y^{2} - 4 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 4 x}$

Этап 1.5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Сократим общий множитель $3 y^{2} - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (3 y^{2} - 4 x)}{3 y^{2} - 4 x} = \frac{4 y}{3 y^{2} - 4 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 4 x}$

Этап 1.5.4.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{4 y}{3 y^{2} - 4 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 4 x}$

Этап 1.5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{4 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 4 x}$

Этап 1.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 4 x}$

Этап 1.7

Найдем значение $x = 2$ в $y = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$\frac{4 y - 3 {(2)}^{2}}{3 y^{2} - 4 \cdot 2}$

Этап 1.7.2

Заменим в этом выражении переменную $y$ на $2$ .

$\frac{4 (2) - 3 {(2)}^{2}}{3 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2}$

Этап 1.7.3

Сократим общий множитель $4 (2) - 3 {(2)}^{2}$ и $3 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1

Изменим порядок членов.

$\frac{- 3 {(2)}^{2} + 2 \cdot 4}{3 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2}$

Этап 1.7.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 3 {(2)}^{2}$ .

$\frac{2 (- 3 \cdot 2) + 2 \cdot 4}{3 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2}$

Этап 1.7.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 4$ .

$\frac{2 (- 3 \cdot 2) + 2 (4)}{3 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2}$

Этап 1.7.3.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 3 \cdot 2) + 2 (4)$ .

$\frac{2 (- 3 \cdot 2 + 4)}{3 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2}$

Этап 1.7.3.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.5.1

Вынесем множитель $2$ из $3 {(2)}^{2}$ .

$\frac{2 (- 3 \cdot 2 + 4)}{2 (3 \cdot 2) - 4 \cdot 2}$

Этап 1.7.3.5.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4 \cdot 2$ .

$\frac{2 (- 3 \cdot 2 + 4)}{2 (3 \cdot 2) + 2 (- 2 \cdot 2)}$

Этап 1.7.3.5.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (3 \cdot 2) + 2 (- 2 \cdot 2)$ .

$\frac{2 (- 3 \cdot 2 + 4)}{2 (3 \cdot 2 - 2 \cdot 2)}$

Этап 1.7.3.5.4

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- 3 \cdot 2 + 4)}{2 (3 \cdot 2 - 2 \cdot 2)}$

Этап 1.7.3.5.5

Перепишем это выражение.

$\frac{- 3 \cdot 2 + 4}{3 \cdot 2 - 2 \cdot 2}$

Этап 1.7.4

Сократим общий множитель $- 3 \cdot 2 + 4$ и $3 \cdot 2 - 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 3 \cdot 2$ .

$\frac{2 \cdot - 3 + 4}{3 \cdot 2 - 2 \cdot 2}$

Этап 1.7.4.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot - 3 + 2 (2)}{3 \cdot 2 - 2 \cdot 2}$

Этап 1.7.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot - 3 + 2 (2)$ .

$\frac{2 \cdot (- 3 + 2)}{3 \cdot 2 - 2 \cdot 2}$

Этап 1.7.4.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $3 \cdot 2$ .

$\frac{2 \cdot (- 3 + 2)}{2 \cdot 3 - 2 \cdot 2}$

Этап 1.7.4.4.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \cdot 2$ .

$\frac{2 \cdot (- 3 + 2)}{2 \cdot 3 + 2 (- 1 \cdot 2)}$

Этап 1.7.4.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 3 + 2 (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{2 \cdot (- 3 + 2)}{2 \cdot (3 - 1 \cdot 2)}$

Этап 1.7.4.4.4

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot (- 3 + 2)}{2 \cdot (3 - 1 \cdot 2)}$

Этап 1.7.4.4.5

Перепишем это выражение.

$\frac{- 3 + 2}{3 - 1 \cdot 2}$

Этап 1.7.5

Сократим общий множитель $- 3 + 2$ и $3 - 1 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.5.1

Перепишем $3$ в виде $- 1 (- 3)$ .

$\frac{- 3 + 2}{- 1 (- 3) - 1 \cdot 2}$

Этап 1.7.5.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 \cdot 2$ .

$\frac{- 3 + 2}{- 1 (- 3) - 1 (2)}$

Этап 1.7.5.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- 3) - 1 (2)$ .

$\frac{- 3 + 2}{- 1 (- 3 + 2)}$

Этап 1.7.5.4

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 + 2}{- 1 (- 3 + 2)}$

Этап 1.7.5.5

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{- 1}$

Этап 1.7.5.6

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{1}{- 1}$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 1.7.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- 1$ и координаты заданной точки $(2, 2)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = - 1 \cdot (x - (2))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 2 = - 1 \cdot (x - 2)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $- 1 \cdot (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 2 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 2)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 2 = - 1 \cdot (x - 2)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 2 = - 1 x - 1 \cdot - 2$

Этап 2.3.1.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.1

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$y - 2 = - x - 1 \cdot - 2$

Этап 2.3.1.4.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$y - 2 = - x + 2$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$y = - x + 2 + 2$

Этап 2.3.2.2

Добавим $2$ и $2$ .

$y = - x + 4$

Этап 3