Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{x^{3}}$ at $(3, \frac{1}{27})$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 3$ и $y = \frac{1}{27}$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем $\frac{1}{x^{3}}$ в виде ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Этап 1.1.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Этап 1.1.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 3$ .

$- 3 x^{- 4}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{4}}$

Этап 1.3.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 3}{x^{4}}$

Этап 1.3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{x^{4}}$

Этап 1.4

Найдем производную в $x = 3$ .

$- \frac{3}{{(3)}^{4}}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель $3$ и ${(3)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- \frac{3 (1)}{{(3)}^{4}}$

Этап 1.5.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из ${(3)}^{4}$ .

$- \frac{3 (1)}{3 \cdot 3^{3}}$

Этап 1.5.1.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3^{3}}$

Этап 1.5.1.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{3^{3}}$

Этап 1.5.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$- \frac{1}{27}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- \frac{1}{27}$ и координаты заданной точки $(3, \frac{1}{27})$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{27}) = - \frac{1}{27} \cdot (x - (3))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{1}{27} \cdot (x - 3)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $- \frac{1}{27} \cdot (x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - \frac{1}{27} = 0 + 0 - \frac{1}{27} \cdot (x - 3)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{1}{27} \cdot (x - 3)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{1}{27} x - \frac{1}{27} \cdot - 3$

Этап 2.3.1.4

Объединим $x$ и $\frac{1}{27}$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x}{27} - \frac{1}{27} \cdot - 3$

Этап 2.3.1.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{27}$ в числитель.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x}{27} + \frac{- 1}{27} \cdot - 3$

Этап 2.3.1.5.2

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x}{27} + \frac{- 1}{3 (9)} \cdot - 3$

Этап 2.3.1.5.3

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x}{27} + \frac{- 1}{3 \cdot 9} \cdot (3 \cdot - 1)$

Этап 2.3.1.5.4

Сократим общий множитель.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x}{27} + \frac{- 1}{3 \cdot 9} \cdot (3 \cdot - 1)$

Этап 2.3.1.5.5

Перепишем это выражение.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x}{27} + \frac{- 1}{9} \cdot - 1$

Этап 2.3.1.6

Объединим $\frac{- 1}{9}$ и $- 1$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x}{27} + \frac{- - 1}{9}$

Этап 2.3.1.7

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x}{27} + \frac{1}{9}$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $\frac{1}{27}$ к обеим частям уравнения.

$y = - \frac{x}{27} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27}$

Этап 2.3.2.2

Чтобы записать $\frac{1}{9}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{x}{27} + \frac{1}{9} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{27}$

Этап 2.3.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $27$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Умножим $\frac{1}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{x}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{27}$

Этап 2.3.2.3.2

Умножим $9$ на $3$ .

$y = - \frac{x}{27} + \frac{3}{27} + \frac{1}{27}$

Этап 2.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - \frac{x}{27} + \frac{3 + 1}{27}$

Этап 2.3.2.5

Добавим $3$ и $1$ .

$y = - \frac{x}{27} + \frac{4}{27}$

Этап 2.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Изменим порядок членов.

$y = - (\frac{1}{27} x) + \frac{4}{27}$

Этап 2.3.3.2

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{1}{27} x + \frac{4}{27}$

Этап 3