Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{2}{x^{2}}$ ; $x = 1$

Этап 1

Найдем значение $y$ при $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$y = \frac{2}{{(1)}^{2}}$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Избавимся от скобок.

$y = \frac{2}{1^{2}}$

Этап 1.2.2

Избавимся от скобок.

$y = \frac{2}{{(1)}^{2}}$

Этап 1.2.3

Упростим $\frac{2}{{(1)}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$y = \frac{2}{1}$

Этап 1.2.3.2

Разделим $2$ на $1$ .

$y = 2$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 1$ и $y = 2$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2}{x^{2}}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Этап 2.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Этап 2.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Этап 2.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$2 (- 2 x^{- 3})$

Этап 2.4

Умножим $- 2$ на $2$ .

$- 4 x^{- 3}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{x^{3}}$

Этап 2.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 4}{x^{3}}$

Этап 2.5.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4}{x^{3}}$

Этап 2.6

Найдем производную в $x = 1$ .

$- \frac{4}{{(1)}^{3}}$

Этап 2.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{4}{1}$

Этап 2.7.2

Разделим $4$ на $1$ .

$- 1 \cdot 4$

Этап 2.7.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 4$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $- 4$ и координаты заданной точки $(1, 2)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = - 4 \cdot (x - (1))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 2 = - 4 \cdot (x - 1)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $- 4 \cdot (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y - 2 = 0 + 0 - 4 \cdot (x - 1)$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 2 = - 4 \cdot (x - 1)$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 2 = - 4 x - 4 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.4

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$y - 2 = - 4 x + 4$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$y = - 4 x + 4 + 2$

Этап 3.3.2.2

Добавим $4$ и $2$ .

$y = - 4 x + 6$

Этап 4