Математический анализ Примеры

$x^{3} + y^{3} = 36 x y$ ; $(18, 18)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 18$ и $y = 18$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (36 x y)$

Этап 1.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} + y^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 1.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.2.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Этап 1.3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $36$ является константой относительно $x$ , производная $36 x y$ по $x$ равна $36 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$36 \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$36 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$36 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$36 (x y' + y \cdot 1)$

Этап 1.3.5

Умножим $y$ на $1$ .

$36 (x y' + y)$

Этап 1.3.6

Применим свойство дистрибутивности.

$36 x y' + 36 y$

Этап 1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 36 x y' + 36 y$

Этап 1.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Вычтем $36 x y'$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 36 x y' = 36 y$

Этап 1.5.2

Вычтем $3 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$3 y^{2} y' - 36 x y' = 36 y - 3 x^{2}$

Этап 1.5.3

Вынесем множитель $3 y'$ из $3 y^{2} y' - 36 x y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Вынесем множитель $3 y'$ из $3 y^{2} y'$ .

$3 y' y^{2} - 36 x y' = 36 y - 3 x^{2}$

Этап 1.5.3.2

Вынесем множитель $3 y'$ из $- 36 x y'$ .

$3 y' y^{2} + 3 y' (- 12 x) = 36 y - 3 x^{2}$

Этап 1.5.3.3

Вынесем множитель $3 y'$ из $3 y' y^{2} + 3 y' (- 12 x)$ .

$3 y' (y^{2} - 12 x) = 36 y - 3 x^{2}$

Этап 1.5.4

Разделим каждый член $3 y' (y^{2} - 12 x) = 36 y - 3 x^{2}$ на $3 (y^{2} - 12 x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Разделим каждый член $3 y' (y^{2} - 12 x) = 36 y - 3 x^{2}$ на $3 (y^{2} - 12 x)$ .

$\frac{3 y' (y^{2} - 12 x)}{3 (y^{2} - 12 x)} = \frac{36 y}{3 (y^{2} - 12 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 12 x)}$

Этап 1.5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y' (y^{2} - 12 x)}{3 (y^{2} - 12 x)} = \frac{36 y}{3 (y^{2} - 12 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 12 x)}$

Этап 1.5.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (y^{2} - 12 x)}{y^{2} - 12 x} = \frac{36 y}{3 (y^{2} - 12 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 12 x)}$

Этап 1.5.4.2.2

Сократим общий множитель $y^{2} - 12 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (y^{2} - 12 x)}{y^{2} - 12 x} = \frac{36 y}{3 (y^{2} - 12 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 12 x)}$

Этап 1.5.4.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{36 y}{3 (y^{2} - 12 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 12 x)}$

Этап 1.5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.3.1.1

Сократим общий множитель $36$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.3.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $36 y$ .

$y' = \frac{3 (12 y)}{3 (y^{2} - 12 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 12 x)}$

Этап 1.5.4.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{3 (12 y)}{3 (y^{2} - 12 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 12 x)}$

Этап 1.5.4.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{12 y}{y^{2} - 12 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 12 x)}$

Этап 1.5.4.3.1.2

Сократим общий множитель $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.3.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{12 y}{y^{2} - 12 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 12 x)}$

Этап 1.5.4.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{12 y}{y^{2} - 12 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 12 x)}$

Этап 1.5.4.3.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{12 y}{y^{2} - 12 x} + \frac{- x^{2}}{y^{2} - 12 x}$

Этап 1.5.4.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{12 y}{y^{2} - 12 x} - \frac{x^{2}}{y^{2} - 12 x}$

Этап 1.5.4.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{12 y - x^{2}}{y^{2} - 12 x}$

Этап 1.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{12 y - x^{2}}{y^{2} - 12 x}$

Этап 1.7

Найдем значение $x = 18$ в $y = 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $18$ .

$\frac{12 y - {(18)}^{2}}{y^{2} - 12 \cdot 18}$

Этап 1.7.2

Заменим в этом выражении переменную $y$ на $18$ .

$\frac{12 (18) - {(18)}^{2}}{{(18)}^{2} - 12 \cdot 18}$

Этап 1.7.3

Сократим общий множитель $12 (18) - {(18)}^{2}$ и ${(18)}^{2} - 12 \cdot 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1

Изменим порядок членов.

$\frac{- {(18)}^{2} + 12 \cdot 18}{{(18)}^{2} - 12 \cdot 18}$

Этап 1.7.3.2

Вынесем множитель $18$ из $- {(18)}^{2}$ .

$\frac{18 (- 1 \cdot 18) + 12 \cdot 18}{{(18)}^{2} - 12 \cdot 18}$

Этап 1.7.3.3

Вынесем множитель $18$ из $12 \cdot 18$ .

$\frac{18 (- 1 \cdot 18) + 18 \cdot 12}{{(18)}^{2} - 12 \cdot 18}$

Этап 1.7.3.4

Вынесем множитель $18$ из $18 (- 1 \cdot 18) + 18 \cdot 12$ .

$\frac{18 (- 1 \cdot 18 + 12)}{{(18)}^{2} - 12 \cdot 18}$

Этап 1.7.3.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.5.1

Вынесем множитель $18$ из ${(18)}^{2}$ .

$\frac{18 (- 1 \cdot 18 + 12)}{18 \cdot 18 - 12 \cdot 18}$

Этап 1.7.3.5.2

Вынесем множитель $18$ из $- 12 \cdot 18$ .

$\frac{18 (- 1 \cdot 18 + 12)}{18 \cdot 18 + 18 \cdot - 12}$

Этап 1.7.3.5.3

Вынесем множитель $18$ из $18 \cdot 18 + 18 \cdot - 12$ .

$\frac{18 (- 1 \cdot 18 + 12)}{18 \cdot (18 - 12)}$

Этап 1.7.3.5.4

Сократим общий множитель.

$\frac{18 (- 1 \cdot 18 + 12)}{18 \cdot (18 - 12)}$

Этап 1.7.3.5.5

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1 \cdot 18 + 12}{18 - 12}$

Этап 1.7.4

Сократим общий множитель $- 1 \cdot 18 + 12$ и $18 - 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Вынесем множитель $6$ из $- 1 \cdot 18$ .

$\frac{6 (- 1 \cdot 3) + 12}{18 - 12}$

Этап 1.7.4.2

Вынесем множитель $6$ из $12$ .

$\frac{6 (- 1 \cdot 3) + 6 (2)}{18 - 12}$

Этап 1.7.4.3

Вынесем множитель $6$ из $6 (- 1 \cdot 3) + 6 (2)$ .

$\frac{6 (- 1 \cdot 3 + 2)}{18 - 12}$

Этап 1.7.4.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.4.1

Вынесем множитель $6$ из $18$ .

$\frac{6 (- 1 \cdot 3 + 2)}{6 (3) - 12}$

Этап 1.7.4.4.2

Вынесем множитель $6$ из $- 12$ .

$\frac{6 (- 1 \cdot 3 + 2)}{6 \cdot 3 + 6 \cdot - 2}$

Этап 1.7.4.4.3

Вынесем множитель $6$ из $6 \cdot 3 + 6 \cdot - 2$ .

$\frac{6 (- 1 \cdot 3 + 2)}{6 \cdot (3 - 2)}$

Этап 1.7.4.4.4

Сократим общий множитель.

$\frac{6 (- 1 \cdot 3 + 2)}{6 \cdot (3 - 2)}$

Этап 1.7.4.4.5

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1 \cdot 3 + 2}{3 - 2}$

Этап 1.7.5

Сократим общий множитель $- 1 \cdot 3 + 2$ и $3 - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.5.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 \cdot 3$ .

$\frac{- 1 (3) + 2}{3 - 2}$

Этап 1.7.5.2

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- 1 (3) - 1 (- 2)}{3 - 2}$

Этап 1.7.5.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (3) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- 1 (3 - 2)}{3 - 2}$

Этап 1.7.5.4

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1 (3 - 2)}{3 - 2}$

Этап 1.7.5.5

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- 1$ и координаты заданной точки $(18, 18)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (18) = - 1 \cdot (x - (18))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 18 = - 1 \cdot (x - 18)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $- 1 \cdot (x - 18)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 18 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 18)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 18 = - 1 \cdot (x - 18)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 18 = - 1 x - 1 \cdot - 18$

Этап 2.3.1.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.1

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$y - 18 = - x - 1 \cdot - 18$

Этап 2.3.1.4.2

Умножим $- 1$ на $- 18$ .

$y - 18 = - x + 18$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $18$ к обеим частям уравнения.

$y = - x + 18 + 18$

Этап 2.3.2.2

Добавим $18$ и $18$ .

$y = - x + 36$

Этап 3