Математический анализ Примеры

$y = \frac{1 + x}{1 + e^{x}}$ , $(0, \frac{1}{2})$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 0$ и $y = \frac{1}{2}$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 1 + x$ и $g (x) = 1 + e^{x}$ .

$\frac{(1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $1 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(1 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(1 + e^{x}) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.2.5

Умножим $1 + e^{x}$ на $1$ .

$\frac{1 + e^{x} - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.2.6

По правилу суммы производная $1 + e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{1 + e^{x} - (1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.2.7

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1 + e^{x} - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.2.8

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{1 + e^{x} - (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{1 + e^{x} - (1 + x) e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 + e^{x} + (- 1 \cdot 1 - x) e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 + e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x} - x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 + e^{x} - 1 e^{x} - x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.4.3.1.2

Перепишем $- 1 e^{x}$ в виде $- e^{x}$ .

$\frac{1 + e^{x} - e^{x} - x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.4.3.2

Объединим противоположные члены в $1 + e^{x} - e^{x} - x e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.1

Вычтем $e^{x}$ из $e^{x}$ .

$\frac{1 + 0 - x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.4.3.2.2

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1 - x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.4.4

Изменим порядок членов.

$\frac{- e^{x} x + 1}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.4.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- e^{x} x$ .

$\frac{- (e^{x} x) + 1}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.4.6

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (e^{x} x) - 1 (- 1)}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.4.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (e^{x} x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (e^{x} x - 1)}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.4.8

Перепишем $- (e^{x} x - 1)$ в виде $- 1 (e^{x} x - 1)$ .

$\frac{- 1 (e^{x} x - 1)}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.4.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{e^{x} x - 1}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.4.10

Изменим порядок множителей в $- \frac{e^{x} x - 1}{{(1 + e^{x})}^{2}}$ .

$- \frac{x e^{x} - 1}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.5

Найдем производную в $x = 0$ .

$- \frac{(0) \cdot e^{0} - 1}{{(1 + e^{0})}^{2}}$

Этап 1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$- \frac{0 \cdot 1 - 1}{{(1 + e^{0})}^{2}}$

Этап 1.6.1.2

Умножим $0$ на $1$ .

$- \frac{0 - 1}{{(1 + e^{0})}^{2}}$

Этап 1.6.1.3

Вычтем $1$ из $0$ .

$- \frac{- 1}{{(1 + e^{0})}^{2}}$

Этап 1.6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$- \frac{- 1}{{(1 + 1)}^{2}}$

Этап 1.6.2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{- 1}{2^{2}}$

Этап 1.6.2.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- \frac{- 1}{4}$

Этап 1.6.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{1}{4}$

Этап 1.6.4

Умножим $- - \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{1}{4})$

Этап 1.6.4.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$\frac{1}{4}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $\frac{1}{4}$ и координаты заданной точки $(0, \frac{1}{2})$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \cdot (x - (0))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \cdot (x + 0)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $\frac{1}{4} \cdot (x + 0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Добавим $x$ и $0$ .

$y - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \cdot x$

Этап 2.3.1.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x$ .

$y - \frac{1}{2} = \frac{x}{4}$

Этап 2.3.2

Добавим $\frac{1}{2}$ к обеим частям уравнения.

$y = \frac{x}{4} + \frac{1}{2}$

Этап 2.3.3

Изменим порядок членов.

$y = \frac{1}{4} x + \frac{1}{2}$

Этап 3