Математический анализ Примеры

$y = \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$ ; $x = 2$

Этап 1

Найдем значение $y$ при $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

$y = \frac{1}{{({(2)}^{2} - 1)}^{3}}$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Избавимся от скобок.

$y = \frac{1}{{(2^{2} - 1)}^{3}}$

Этап 1.2.2

Избавимся от скобок.

$y = \frac{1}{{({(2)}^{2} - 1)}^{3}}$

Этап 1.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \frac{1}{{(4 - 1)}^{3}}$

Этап 1.2.3.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$y = \frac{1}{3^{3}}$

Этап 1.2.3.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$y = \frac{1}{27}$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 2$ и $y = \frac{1}{27}$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем $\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$ в виде ${({(x^{2} - 1)}^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(x^{2} - 1)}^{3})}^{- 1}]$

Этап 2.1.2

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} - 1)}^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{3 \cdot - 1}]$

Этап 2.1.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{- 3}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 3}$ и $g (x) = x^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 3$ .

$- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 1$ .

$- 3 {(x^{2} - 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 3 {(x^{2} - 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 3 {(x^{2} - 1)}^{- 4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 3 {(x^{2} - 1)}^{- 4} (2 x + 0)$

Этап 2.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$- 3 {(x^{2} - 1)}^{- 4} (2 x)$

Этап 2.3.4.2

Умножим $2$ на $- 3$ .

$- 6 {(x^{2} - 1)}^{- 4} x$

Этап 2.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{4}} x$

Этап 2.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Объединим $- 6$ и $\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$ .

$\frac{- 6}{{(x^{2} - 1)}^{4}} x$

Этап 2.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{6}{{(x^{2} - 1)}^{4}} x$

Этап 2.5.3

Объединим $x$ и $\frac{6}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$ .

$- \frac{x \cdot 6}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 2.5.4

Перенесем $6$ влево от $x$ .

$- \frac{6 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 2.6

Найдем производную в $x = 2$ .

$- \frac{6 (2)}{{({(2)}^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 2.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Умножим $6$ на $2$ .

$- \frac{12}{{(2^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 2.7.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- \frac{12}{{(4 - 1)}^{4}}$

Этап 2.7.2.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$- \frac{12}{3^{4}}$

Этап 2.7.2.3

Возведем $3$ в степень $4$ .

$- \frac{12}{81}$

Этап 2.7.3

Сократим общий множитель $12$ и $81$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$- \frac{3 (4)}{81}$

Этап 2.7.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $81$ .

$- \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 27}$

Этап 2.7.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 27}$

Этап 2.7.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{4}{27}$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $- \frac{4}{27}$ и координаты заданной точки $(2, \frac{1}{27})$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{27}) = - \frac{4}{27} \cdot (x - (2))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{4}{27} \cdot (x - 2)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $- \frac{4}{27} \cdot (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y - \frac{1}{27} = 0 + 0 - \frac{4}{27} \cdot (x - 2)$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{4}{27} \cdot (x - 2)$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{4}{27} x - \frac{4}{27} \cdot - 2$

Этап 3.3.1.4

Объединим $x$ и $\frac{4}{27}$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x \cdot 4}{27} - \frac{4}{27} \cdot - 2$

Этап 3.3.1.5

Умножим $- \frac{4}{27} \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x \cdot 4}{27} + 2 (\frac{4}{27})$

Этап 3.3.1.5.2

Объединим $2$ и $\frac{4}{27}$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x \cdot 4}{27} + \frac{2 \cdot 4}{27}$

Этап 3.3.1.5.3

Умножим $2$ на $4$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x \cdot 4}{27} + \frac{8}{27}$

Этап 3.3.1.6

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{4 x}{27} + \frac{8}{27}$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $\frac{1}{27}$ к обеим частям уравнения.

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{8}{27} + \frac{1}{27}$

Этап 3.3.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{- 4 x + 8 + 1}{27}$

Этап 3.3.2.3

Добавим $8$ и $1$ .

$y = \frac{- 4 x + 9}{27}$

Этап 3.3.2.4

Разобьем дробь $\frac{- 4 x + 9}{27}$ на две дроби.

$y = \frac{- 4 x}{27} + \frac{9}{27}$

Этап 3.3.2.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.5.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{9}{27}$

Этап 3.3.2.5.2

Сократим общий множитель $9$ и $27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.5.2.1

Вынесем множитель $9$ из $9$ .

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{9 (1)}{27}$

Этап 3.3.2.5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.5.2.2.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 3}$

Этап 3.3.2.5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 3}$

Этап 3.3.2.5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{1}{3}$

Этап 3.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Изменим порядок членов.

$y = - (\frac{4}{27} x) + \frac{1}{3}$

Этап 3.3.3.2

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{4}{27} x + \frac{1}{3}$

Этап 4