Математический анализ Примеры

$f (x) = - 2 - \cos (x)$ at $x = - \frac{π}{4}$

Этап 1

Найдем значение $y$ при $x = - \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $- \frac{π}{4}$ вместо $x$ .

$y = - 2 - \cos (- \frac{π}{4})$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Избавимся от скобок.

$y = - 2 - \cos (- \frac{π}{4})$

Этап 1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$y = - 2 - \cos (\frac{7 π}{4})$

Этап 1.2.2.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$y = - 2 - \cos (\frac{π}{4})$

Этап 1.2.2.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = - 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = - \frac{π}{4}$ и $y = - 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $- 2 - \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Этап 2.1.2

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 2.2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$0 - - \sin (x)$

Этап 2.2.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$0 + 1 \sin (x)$

Этап 2.2.4

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$0 + \sin (x)$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $\sin (x)$ .

$\sin (x)$

Этап 2.4

Найдем производную в $x = - \frac{π}{4}$ .

$\sin (- \frac{π}{4})$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\sin (\frac{7 π}{4})$

Этап 2.5.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$- \sin (\frac{π}{4})$

Этап 2.5.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ и координаты заданной точки $(- \frac{π}{4}, - 2 - \frac{\sqrt{2}}{2})$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (x - (- \frac{π}{4}))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (x + \frac{π}{4})$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (x + \frac{π}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 + 0 - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (x + \frac{π}{4})$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (x + \frac{π}{4})$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{π}{4}$

Этап 3.3.1.4

Объединим $x$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{π}{4}$

Этап 3.3.1.5

Умножим $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Умножим $\frac{π}{4}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{π \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Этап 3.3.1.5.2

Умножим $4$ на $2$ .

$y + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{π \sqrt{2}}{8}$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{π \sqrt{2}}{8} - 2$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $\frac{\sqrt{2}}{2}$ из обеих частей уравнения.

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{π \sqrt{2}}{8} - 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 3.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{8}{8}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{π \sqrt{2}}{8} - 2 \cdot \frac{8}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 3.3.3.2

Объединим $- 2$ и $\frac{8}{8}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{π \sqrt{2}}{8} + \frac{- 2 \cdot 8}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 3.3.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- π \sqrt{2} - 2 \cdot 8}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 3.3.3.4

Умножим $- 2$ на $8$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- π \sqrt{2} - 16}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 3.3.3.5

Чтобы записать $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- π \sqrt{2} - 16}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 3.3.3.6

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $8$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.6.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- π \sqrt{2} - 16}{8} - \frac{\sqrt{2} \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Этап 3.3.3.6.2

Умножим $2$ на $4$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- π \sqrt{2} - 16}{8} - \frac{\sqrt{2} \cdot 4}{8}$

Этап 3.3.3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- π \sqrt{2} - 16 - \sqrt{2} \cdot 4}{8}$

Этап 3.3.3.8

Умножим $4$ на $- 1$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- π \sqrt{2} - 16 - 4 \sqrt{2}}{8}$

Этап 3.3.3.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- π \sqrt{2}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- (π \sqrt{2}) - 16 - 4 \sqrt{2}}{8}$

Этап 3.3.3.10

Перепишем $- 16$ в виде $- 1 (16)$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- (π \sqrt{2}) - 1 (16) - 4 \sqrt{2}}{8}$

Этап 3.3.3.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- (π \sqrt{2}) - 1 (16)$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- (π \sqrt{2} + 16) - 4 \sqrt{2}}{8}$

Этап 3.3.3.12

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 \sqrt{2}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- (π \sqrt{2} + 16) - (4 \sqrt{2})}{8}$

Этап 3.3.3.13

Вынесем множитель $- 1$ из $- (π \sqrt{2} + 16) - (4 \sqrt{2})$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- (π \sqrt{2} + 16 + 4 \sqrt{2})}{8}$

Этап 3.3.3.14

Перепишем $- (π \sqrt{2} + 16 + 4 \sqrt{2})$ в виде $- 1 (π \sqrt{2} + 16 + 4 \sqrt{2})$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- 1 (π \sqrt{2} + 16 + 4 \sqrt{2})}{8}$

Этап 3.3.3.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{π \sqrt{2} + 16 + 4 \sqrt{2}}{8}$

Этап 3.3.3.16

Изменим порядок членов.

$y = - (\frac{\sqrt{2}}{2} x) - \frac{π \sqrt{2} + 16 + 4 \sqrt{2}}{8}$

Этап 3.3.3.17

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{\sqrt{2}}{2} x - \frac{π \sqrt{2} + 16 + 4 \sqrt{2}}{8}$

Этап 4