Математический анализ Примеры

$y = \frac{1}{3 x^{3}}$ , $(2, \frac{1}{24})$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 2$ и $y = \frac{1}{24}$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{3 x^{3}}$ по $x$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Этап 1.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{3}}$ в виде ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Этап 1.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Этап 1.2.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 3$ .

$\frac{1}{3} (- 3 x^{- 4})$

Этап 1.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 3}{3} x^{- 4}$

Этап 1.4.2

Объединим $\frac{- 3}{3}$ и $x^{- 4}$ .

$\frac{- 3 x^{- 4}}{3}$

Этап 1.4.3

Перенесем $x^{- 4}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 3}{3 x^{4}}$

Этап 1.4.4

Сократим общий множитель $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 x^{4}}$

Этап 1.4.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{4}$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 (x^{4})}$

Этап 1.4.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 x^{4}}$

Этап 1.4.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{x^{4}}$

Этап 1.4.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{x^{4}}$

Этап 1.5

Найдем производную в $x = 2$ .

$- \frac{1}{{(2)}^{4}}$

Этап 1.6

Возведем $2$ в степень $4$ .

$- \frac{1}{16}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- \frac{1}{16}$ и координаты заданной точки $(2, \frac{1}{24})$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{24}) = - \frac{1}{16} \cdot (x - (2))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - \frac{1}{24} = - \frac{1}{16} \cdot (x - 2)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $- \frac{1}{16} \cdot (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - \frac{1}{24} = 0 + 0 - \frac{1}{16} \cdot (x - 2)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - \frac{1}{24} = - \frac{1}{16} \cdot (x - 2)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - \frac{1}{24} = - \frac{1}{16} x - \frac{1}{16} \cdot - 2$

Этап 2.3.1.4

Объединим $x$ и $\frac{1}{16}$ .

$y - \frac{1}{24} = - \frac{x}{16} - \frac{1}{16} \cdot - 2$

Этап 2.3.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{16}$ в числитель.

$y - \frac{1}{24} = - \frac{x}{16} + \frac{- 1}{16} \cdot - 2$

Этап 2.3.1.5.2

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$y - \frac{1}{24} = - \frac{x}{16} + \frac{- 1}{2 (8)} \cdot - 2$

Этап 2.3.1.5.3

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$y - \frac{1}{24} = - \frac{x}{16} + \frac{- 1}{2 \cdot 8} \cdot (2 \cdot - 1)$

Этап 2.3.1.5.4

Сократим общий множитель.

$y - \frac{1}{24} = - \frac{x}{16} + \frac{- 1}{2 \cdot 8} \cdot (2 \cdot - 1)$

Этап 2.3.1.5.5

Перепишем это выражение.

$y - \frac{1}{24} = - \frac{x}{16} + \frac{- 1}{8} \cdot - 1$

Этап 2.3.1.6

Объединим $\frac{- 1}{8}$ и $- 1$ .

$y - \frac{1}{24} = - \frac{x}{16} + \frac{- - 1}{8}$

Этап 2.3.1.7

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y - \frac{1}{24} = - \frac{x}{16} + \frac{1}{8}$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $\frac{1}{24}$ к обеим частям уравнения.

$y = - \frac{x}{16} + \frac{1}{8} + \frac{1}{24}$

Этап 2.3.2.2

Чтобы записать $\frac{1}{8}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{x}{16} + \frac{1}{8} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{24}$

Этап 2.3.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $24$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Умножим $\frac{1}{8}$ на $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{x}{16} + \frac{3}{8 \cdot 3} + \frac{1}{24}$

Этап 2.3.2.3.2

Умножим $8$ на $3$ .

$y = - \frac{x}{16} + \frac{3}{24} + \frac{1}{24}$

Этап 2.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - \frac{x}{16} + \frac{3 + 1}{24}$

Этап 2.3.2.5

Добавим $3$ и $1$ .

$y = - \frac{x}{16} + \frac{4}{24}$

Этап 2.3.2.6

Сократим общий множитель $4$ и $24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.6.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$y = - \frac{x}{16} + \frac{4 (1)}{24}$

Этап 2.3.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.6.2.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$y = - \frac{x}{16} + \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 6}$

Этап 2.3.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{x}{16} + \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 6}$

Этап 2.3.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{x}{16} + \frac{1}{6}$

Этап 2.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Изменим порядок членов.

$y = - (\frac{1}{16} x) + \frac{1}{6}$

Этап 2.3.3.2

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{1}{16} x + \frac{1}{6}$

Этап 3