Математический анализ Примеры

$f (x) = x {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$ ; $x = 2$

Этап 1

Найдем значение $y$ при $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

$y = (2) {({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{8}$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 2 {(2^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{8}$

Этап 1.2.2

Избавимся от скобок.

$y = (2) {({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{8}$

Этап 1.2.3

Упростим $(2) {({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = 2 {(4 - 4 \cdot 2 + 5)}^{8}$

Этап 1.2.3.1.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$y = 2 {(4 - 8 + 5)}^{8}$

Этап 1.2.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Вычтем $8$ из $4$ .

$y = 2 {(- 4 + 5)}^{8}$

Этап 1.2.3.2.2

Добавим $- 4$ и $5$ .

$y = 2 \cdot 1^{8}$

Этап 1.2.3.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$y = 2 \cdot 1$

Этап 1.2.3.2.4

Умножим $2$ на $1$ .

$y = 2$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 2$ и $y = 2$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}] + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{8}$ и $g (x) = x^{2} - 4 x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 4 x + 5$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 5]) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 8$ .

$x (8 u^{7} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 5]) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 4 x + 5$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 5]) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 4 x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.5

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.6

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4 + 0)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.7

Добавим $2 x - 4$ и $0$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \cdot 1$

Этап 2.3.9

Умножим ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$ на $1$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$

Этап 2.4

Вынесем множитель ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$ из $x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вынесем множитель ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$ из $x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4))$ .

${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x (8 (2 x - 4))) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$

Этап 2.4.2

Вынесем множитель ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$ из ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$ .

${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x (8 (2 x - 4))) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x^{2} - 4 x + 5)$

Этап 2.4.3

Вынесем множитель ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$ из ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x (8 (2 x - 4))) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x^{2} - 4 x + 5)$ .

${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x (8 (2 x - 4)) + x^{2} - 4 x + 5)$

Этап 2.5

Найдем производную в $x = 2$ .

${({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{7} ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

${(4 - 4 \cdot 2 + 5)}^{7} ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Этап 2.6.1.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

${(4 - 8 + 5)}^{7} ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Этап 2.6.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Вычтем $8$ из $4$ .

${(- 4 + 5)}^{7} ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Этап 2.6.2.2

Добавим $- 4$ и $5$ .

$1^{7} ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Этап 2.6.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$1 ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Этап 2.6.2.4

Умножим $(2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$ на $1$ .

$(2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$

Этап 2.6.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$2 (8 (4 - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$

Этап 2.6.3.2

Вычтем $4$ из $4$ .

$2 (8 \cdot 0) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$

Этап 2.6.3.3

Умножим $2 (8 \cdot 0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.3.1

Умножим $8$ на $0$ .

$2 \cdot 0 + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$

Этап 2.6.3.3.2

Умножим $2$ на $0$ .

$0 + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$

Этап 2.6.3.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$0 + 4 - 4 \cdot 2 + 5$

Этап 2.6.3.5

Умножим $- 4$ на $2$ .

$0 + 4 - 8 + 5$

Этап 2.6.4

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1

Добавим $0$ и $4$ .

$4 - 8 + 5$

Этап 2.6.4.2

Вычтем $8$ из $4$ .

$- 4 + 5$

Этап 2.6.4.3

Добавим $- 4$ и $5$ .

$1$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $1$ и координаты заданной точки $(2, 2)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = 1 \cdot (x - (2))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 2 = 1 \cdot (x - 2)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $x - 2$ на $1$ .

$y - 2 = x - 2$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$y = x - 2 + 2$

Этап 3.3.2.2

Объединим противоположные члены в $x - 2 + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$y = x + 0$

Этап 3.3.2.2.2

Добавим $x$ и $0$ .

$y = x$

Этап 4