Математический анализ Примеры

$\frac{1}{1 + x^{2}}$ , $(1, \frac{1}{2})$

Этап 1

Запишем $\frac{1}{1 + x^{2}}$ в виде уравнения.

$y = \frac{1}{1 + x^{2}}$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 1$ и $y = \frac{1}{2}$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $\frac{1}{1 + x^{2}}$ в виде ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{- 1}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = 1 + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 + x^{2}$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

По правилу суммы производная $1 + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.3.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} (2 x)$

Этап 2.3.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 {(1 + x^{2})}^{- 2} x$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

Этап 2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

Этап 2.4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

Этап 2.4.2.3

Объединим $x$ и $\frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.4.2.4

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.5

Найдем производную в $x = 1$ .

$- \frac{2 (1)}{{(1 + {(1)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $2$ на $1$ .

$- \frac{2}{{(1 + 1^{2})}^{2}}$

Этап 2.6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{2}{{(1 + 1)}^{2}}$

Этап 2.6.2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{2}{2^{2}}$

Этап 2.6.2.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- \frac{2}{4}$

Этап 2.6.3

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{2 (1)}{4}$

Этап 2.6.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Этап 2.6.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Этап 2.6.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{2}$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $- \frac{1}{2}$ и координаты заданной точки $(1, \frac{1}{2})$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} \cdot (x - (1))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $- \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y - \frac{1}{2} = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 1$

Этап 3.3.1.4

Объединим $x$ и $\frac{1}{2}$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 1$

Этап 3.3.1.5

Умножим $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

Этап 3.3.1.5.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $\frac{1}{2}$ к обеим частям уравнения.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 3.3.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{- x + 1 + 1}{2}$

Этап 3.3.2.3

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \frac{- x + 2}{2}$

Этап 3.3.2.4

Разобьем дробь $\frac{- x + 2}{2}$ на две дроби.

$y = \frac{- x}{2} + \frac{2}{2}$

Этап 3.3.2.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.5.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{2}{2}$

Этап 3.3.2.5.2

Разделим $2$ на $2$ .

$y = - \frac{x}{2} + 1$

Этап 3.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Изменим порядок членов.

$y = - (\frac{1}{2} x) + 1$

Этап 3.3.3.2

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{1}{2} x + 1$

Этап 4