Математический анализ Примеры

Given: $x^{2} = y^{4}$ Find the equation of the tangent line at $(9, 3)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 9$ и $y = 3$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{2}) = \frac{d}{d x} (y^{4})$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x$

Этап 1.3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$4 y^{3} y'$

Этап 1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$2 x = 4 y^{3} y'$

Этап 1.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Перепишем уравнение в виде $4 y^{3} y' = 2 x$ .

$4 y^{3} y' = 2 x$

Этап 1.5.2

Разделим каждый член $4 y^{3} y' = 2 x$ на $4 y^{3}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Разделим каждый член $4 y^{3} y' = 2 x$ на $4 y^{3}$ .

$\frac{4 y^{3} y'}{4 y^{3}} = \frac{2 x}{4 y^{3}}$

Этап 1.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y^{3} y'}{4 y^{3}} = \frac{2 x}{4 y^{3}}$

Этап 1.5.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y^{3} y'}{y^{3}} = \frac{2 x}{4 y^{3}}$

Этап 1.5.2.2.2

Сократим общий множитель $y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{3} y'}{y^{3}} = \frac{2 x}{4 y^{3}}$

Этап 1.5.2.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{2 x}{4 y^{3}}$

Этап 1.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.3.1

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$y' = \frac{2 (x)}{4 y^{3}}$

Этап 1.5.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4 y^{3}$ .

$y' = \frac{2 (x)}{2 (2 y^{3})}$

Этап 1.5.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2 x}{2 (2 y^{3})}$

Этап 1.5.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{x}{2 y^{3}}$

Этап 1.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y^{3}}$

Этап 1.7

Найдем значение $x = 9$ в $y = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $9$ .

$\frac{9}{2 y^{3}}$

Этап 1.7.2

Заменим в этом выражении переменную $y$ на $3$ .

$\frac{9}{2 {(3)}^{3}}$

Этап 1.7.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{9}{2 \cdot 27}$

Этап 1.7.3.2

Умножим $2$ на $27$ .

$\frac{9}{54}$

Этап 1.7.4

Сократим общий множитель $9$ и $54$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Вынесем множитель $9$ из $9$ .

$\frac{9 (1)}{54}$

Этап 1.7.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.2.1

Вынесем множитель $9$ из $54$ .

$\frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 6}$

Этап 1.7.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 6}$

Этап 1.7.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{6}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $\frac{1}{6}$ и координаты заданной точки $(9, 3)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = \frac{1}{6} \cdot (x - (9))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 3 = \frac{1}{6} \cdot (x - 9)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $\frac{1}{6} \cdot (x - 9)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 3 = 0 + 0 + \frac{1}{6} \cdot (x - 9)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 3 = \frac{1}{6} \cdot (x - 9)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 3 = \frac{1}{6} x + \frac{1}{6} \cdot - 9$

Этап 2.3.1.4

Объединим $\frac{1}{6}$ и $x$ .

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{6} \cdot - 9$

Этап 2.3.1.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3 (2)} \cdot - 9$

Этап 2.3.1.5.2

Вынесем множитель $3$ из $- 9$ .

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 3)$

Этап 2.3.1.5.3

Сократим общий множитель.

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 3)$

Этап 2.3.1.5.4

Перепишем это выражение.

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{2} \cdot - 3$

Этап 2.3.1.6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 3$ .

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{- 3}{2}$

Этап 2.3.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y - 3 = \frac{x}{6} - \frac{3}{2}$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$y = \frac{x}{6} - \frac{3}{2} + 3$

Этап 2.3.2.2

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{6} - \frac{3}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 2.3.2.3

Объединим $3$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{6} - \frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Этап 2.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{x}{6} + \frac{- 3 + 3 \cdot 2}{2}$

Этап 2.3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.5.1

Умножим $3$ на $2$ .

$y = \frac{x}{6} + \frac{- 3 + 6}{2}$

Этап 2.3.2.5.2

Добавим $- 3$ и $6$ .

$y = \frac{x}{6} + \frac{3}{2}$

Этап 2.3.3

Изменим порядок членов.

$y = \frac{1}{6} x + \frac{3}{2}$

Этап 3